Una conjunción histórica: (2) Los motivos de la excepcionalidad

Este artículo es continuación de otro publicado el mes pasado que anunciaba la conjunción de Júpiter y Saturno para el próximo 21 de diciembre. Si no lo has leído te recomiendo que lo hagas ahora, clicando en este enlace, antes de seguir leyendo esto.

Si aquel post era más bien descriptivo, este es bastante técnico, sobre todo en su amplio anexo final (avisado estás), y voy a insistir en dos aspectos:

- Por un lado, volver a incidir en los motivos por los que este fenómeno pueda considerarse como algo muy especial, ya que hay que situarlo en su justa medida.

- Por otra parte voy a intentar darle una orientación didáctica en el análisis de diversos aspectos técnicos. Quiero realizar y explicar varias deducciones como si estuviese en un aula de la ESO (Enseñanza Secundaria Obligatoria), por lo que algunas cosas te parecerán demasiado elementales o razonamientos excesivamente detallados. Si es así, pásalo rápido y quédate con los resultados que te interesen. 

También puede ocurrir lo contrario, porque en esas deducciones hay bastantes números y a mucha gente no le gustan. Para que resulte más fácil evitar las temidas "mates", todo eso va en letra cursiva. Si ese es tu caso quédate solo con la primera parte, lo de antes del anexo “SOLO PARA QUIENES LES GUSTA ENCONTRAR LAS CAUSAS“, aunque también puedes pasar de los números y echar un vistazo a los gráficos y sus explicaciones que allí aparecen, que siempre son más atractivos que las ecuaciones. 

La importancia de este fenómeno

El cielo suele ofrecernos sugerentes estampas, como ésta de hoy mismo (19-11) en que la Luna adornada por reflejos nubosos es testigo del progresivo acercamiento de Júpiter y Saturno. Pero lo de la conjunción del próximo mes será algo más que una bonita imagen.

Hay que repetirlo porque merece la pena: lo que se pueda ver al principio de la primera noche del invierno será algo excepcional.

Pero ¿por qué? No será un fenómeno llamativo en cuanto a su desarrollo, ni a su belleza. No se puede comparar por ejemplo con las sensaciones que produce la observación de un eclipse total de Sol o con el espectáculo de una ocultación de Venus o Saturno por la Luna.  No será algo dinámico como esos fenómenos porque la aproximación de los dos planetas se produce muy poco a poco, no se llegan a “juntar”, no apreciaremos su acercamiento cuando los miremos el día 21, y solo comparando con lo que se vea los días anteriores y posteriores se notará la diferencia.

Incluso sería más llamativa la observación de un eclipse de un satélite de Júpiter, por ejemplo. Y aunque se dice que en el Oeste del continente europeo somos privilegiados porque el máximo acercamiento entre los dos planetas se produce precisamente en el reducido intervalo en que aquí es de noche y los protagonistas aún están sobre el horizonte, yo preferiría estar en esas fechas al este de Australia o de China y mirar el día siguiente (10:54 T.U. del 22 de diciembre) cuando los dos planetas seguirán estando muy juntos (a 7.5´ en vez de los 6´ en que se verán desde España) pero además se producirá la aparición repentina “como de la nada” del satélite Europa de Júpiter. Eso sí será algo llamativo de un momento.   ¡¡Y además en esos instantes el satélite Io y su sombra estarán transitando el disco del planeta!!

En esta animación el satélite Europa surge, ya separado del planeta, al salir de la sombra del  mismo. (Lo de Shangai es solo un ejemplo de la estrecha franja desde donde el fenómeno ocurre de noche y sobre el horizonte, y las 17:54 se refiere a la hora oficial en China). Este encuadre es tal como se vería en un campo con un ocular de bastantes aumentos (que no es imprescindible). 

Con otro ocular de más campo en el telescopio, muchos chinos y australianos verán también simultáneamente a Saturno, como se recoge en el siguiente gráfico, comparado con lo que se verá unas horas antes desde Europa. 

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A la izquierda lo que podrá verse al principio de la noche del día 22 desde zonas orientales de Asia y Australia al finalizar el eclipse del satélite Europa, y a la derecha lo que veremos el día 21 desde el oeste del continente europeo, Canarias (y casi también América aunque no tanto), en momentos próximos al mayor acercamiento del planeta. ¿Cuál elegirías?

Un fenómeno similar a este eclipse, o aún mejor, ocurre el 28 de noviembre, tal como anuncié en “los fenómenos celestes de este mes” En ese caso el protagonista será otro satélite joviano: Calisto; y cuando aparezca de repente, Saturno no entrará en el mismo ocular que Júpiter, pero casi mejor. Así no me distraerá, y una vez visto el final del eclipse podré ver el planeta anillado con solo mover ligeramente el telescopio.

Por poner un símil, es mucho más excepcional y llama más la atención ver un halo solar, por la poca frecuencia con la que puede observarse, que un arco iris que ya estamos acostumbrados a verlo. A pesar de que la belleza, colorido, e incluso el tamaño y majestuosidad del segundo es mucho mayor que la del primero.

Como en el halo solar frente al arco iris, lo infrecuente de la conjunción planetaria la hace más interesante.

Si la conjunción del 21 de diciembre es algo realmente destacable, es por su rareza y (en mi opinión) no porque “hasta de dentro de 60 años no habrá otro similar” como se está publicitando en muchos sitios, sino porque  los dos planetas “no se han visto tan juntos desde hace ¡casi 4 siglos!”, no ha habido otra circunstancia igual desde la invención del telescopio y como consecuencia ¡Porque ésta es la primera vez en la historia que pueda observarse con tanto detalle!

Siendo un poco quisquillosos, y tal como se cita más adelante, habría que retroceder incluso hasta 1226 para encontrar algo mejor.

Merece la pena, por ello, hacer números, mirar gráficos, comparar …

Los datos de las diferentes conjunciones:

Como lo que pretendo resaltar es la relación de ésta con otras conjunciones de estos mismos planetas, recojo el listado de todas ellas, con su separación en grados, desde mediados del siglo XVI hasta finales del XXI.

Fecha de las sucesivas conjunciones de Júpiter con Saturno y separación en grados, entre los planetas en cada una. Se han numerado con color azul las conjunciones más cerradas (con una separación en torno a  0.5º o inferior), y además rebordeado en rojo las mejores (en torno a 0.1º)

De estos datos se pueden sacar varias conclusiones. Algunas las mencioné en el artículo anterior, pero me parece conveniente recogerlas nuevamente ahora con otras más porque todo está relacionado.

Pero antes de seguir: Te sugiero que mires la tabla despacio e intentes encontrar o sacar algún criterio que se repita, alguna tendencia de los números…

Los que yo he sacado son:

A- Hay una conjunción aproximadamente cada 20 años.

B- Afinando más: Los periodos entre dos conjunciones no son todos iguales, pero haciendo el cálculo del promedio (entre todas las de la tabla) el intervalo es de 19.87 años (puede variar alguna centésima tomando otras fechas)

C-  La separación entre los dos planetas en cada caso es diferente, pero si se analiza su evolución las sucesivas conjunciones siguen unos patrones claros, relacionados con ciclos de 3 conjunciones (unos 60 años) donde las situaciones son similares y las separaciones van variando poco a poco de manera regular.

D- Considerando largos periodos de tiempo, y mirando más datos que los de esta tabla, se ve que las conjunciones muy buenas van por pares con solo 60 años de diferencia (ésta de 2020 es igual que la de 2080) o por tríos, con una frecuencia de cada 4 siglos. Por eso la de este año (con separación de 0.1º) se puede comparar con la de 1623 y la de 2080 , (criterio C o D) aunque en principio podría parecer extraña esa desigualdad en el periodo de tiempo anterior y posterior.

Rectifico, o matizo: En 1623, en que se hubieran visto más cerca, no los pudo observar nadie por estar solo a 13º del Sol y ocultarse antes de oscurecer. Para encontrar otra situación en que fueran observados más cerca, hay que irse al doble de tiempo: ¡Casi 8 siglos! En 1226, en que la separación entre los dos planetas fue menos que la mitad que ahora (solo 0.04º), siendo posible que en esos momentos ¿nadie que no tuviera una gran agudeza visual pudiera diferenciarles a simple vista uno del otro?, y telescopio no había.

Todo esto tiene su lógica, y lo analizaré y deduciré como lo haría en el aula con alumnado de ESO.

Reitero lo dicho antes sobre la opción de saltarte algunos párrafos, aunque debo indicar que a algunos de mis alumnos que odiaban las "mate" porque “nunca las habían entendido” estas cosas de los astros y sus números les llevó a congraciarse con ellas.  

Por supuesto, hay que ponérselo fácil, llevarles de la mano, sugerirles estrategias, explicárselo una y otra vez, (sobre todo a ese alumno distraído que tiene cerca suyo una compañera tan guapa, o a ese que ves que te mira a tí pero no a lo que haces). Suele ser necesario irles guiando, casi llevarles de la mano y que sean ellas y ellos quienes den el paso final y lo descubran: “¡Anda! ¡Me ha salido justo eso!“. Porque ello les hace sentirse protagonistas de su aprendizaje y les motiva.

Los motivos: haciendo números y trazando gráficos

Como dije en el post anterior, en todas las deducciones se considerará la alineación Saturno-Júpiter-Sol pero los resultados generales concuerdan muy aproximadamente con las conjunciones de Júpiter y Saturno vistas desde la Tierra porque, aunque ésta también se mueve, el tamaño de la órbita de nuestro planeta comparativamente es muy pequeño respecto al de las órbitas de esos otros dos planetas.

Algunas cosas estaban ya en aquel post, pero de cara a dejarlo todo más homogéneo, lo repito ahora y lo elimino de aquel.

Si quieres puedes ir obteniendo tú mismo-a los resultados: Coge una calculadora (en tu móvil la tienes), intenta sacar las conclusiones antes de leerlas, o simplemente compruébalas. Te enganchará más a la lectura del artículo.

Pero de todas formas también puede ser conveniente que no sigas todo de un tirón. Puedes hacer una pausa después da cada apartado saboreando el resultado, porque tanto número seguido tampoco es muy llevadero.

A- Cada 20 años:  Estos cálculos (aproximados) pueden hacerse mentalmente redondeando los periodos de los dos planetas: 

Los valores reales son Júpiter 11.86 años y Saturno 29.46, pero en un primer paso redondearemos a 12 y 30 años.

Si Saturno tiene un periodo aproximado de 30 años, en 20 años ¿qué fracción de vuelta habrá dado?:  20/30=2/3. Habrá dado 2 tercios de vuelta.

Júpiter, con un periodo de 12 años, en 20 habrá dado más de una vuelta. Después de esa primera vuelta le quedan:... otros 8 años. ¿Qué fracción de vuelta dará en esos 8 años?: 8/12 = 2/3 Así en los 20 años habrá dado una vuelta y 2 tercios. Y volverán a repetirse sus posiciones respecto a Saturno.

Si lo has hecho con la calculadora, te habrá salido 0.666 y 1.666

B- Periodo medio exacto: Se puede hacer un cálculo más preciso y directo con los valores reales de los periodos orbitales (prescindiendo de los valores de las efemérides y contrastándolos luego con ellas podremos comprobar ¡que lo hemos hecho bien!):

Calculemos las velocidades angulares medias  de ambos planetas (No son constantes por la 2ª ley de Kepler pero no hay excesiva diferencia porque las excentricidades son pequeñas): Si Júpiter completa los 360º en 11.86 años, su velocidad angular será Vj = 360º/11.86 años = 30.35º por año.    Saturno, que recorre su órbita  en 29.46 años, Vs = 360º/29.46 años = 12.22º por año.

Si tardan t años en repetir una alineación (respecto al Sol), Júpiter habrá dado una vuelta más, es decir 360º más, al haberle sacado una vuelta, como un atleta cuando dobla a otro.

¿Cuántos grados habrá recorrido Saturno en ese tiempo?:   Vs t = 12.22 t grados.

¿Y Júpiter?:   Vj t = 30.35 t grados

Por lo tanto se plantea la ecuación   30.35 t = 12.22 t + 360º     

Resolviéndola: 

30.35 t – 12.22 t = 360º   ,     18.13 t = 360º    ,    t = 360/18.13 = 19.86 años 

C- En cuanto a la distinta separación entre los dos planetas en las diferentes conjunciones, esto se debe a que las órbitas planetarias no están en el mismo plano:

Si lo estuvieran (la de la Tierra y la de los 2 planetas), cada vez que Júpiter alcanza la Saturno, les veríamos  coincidir en el mismo punto del cielo. Pero de esta manera vemos que lo adelanta por arriba o por abajo a diferentes distancias.

Gráfico esquemático en perspectiva, en el que se ha exagerado la inclinación de las órbitas (en rojo los valores reales), para entender la situación. Luego lo detallaré tanto en planta como en perfil.

En realidad los nodos correspondientes de las órbitas de los dos planetas están relativamente cercanos, con una separación de unos 13º, siendo la inclinación de la órbita de Júpiter de 1.3º y la de Saturno de 2.48º 

Las separaciones entre los planetas en las diferentes conjunciones serán similares cuando estas se produzcan en lugares análogos en sus órbitas. Como cada 3 alineaciones ocupan posiciones similares (por lo de los 2/3 calculado en el apartado A) esas separaciones variarán solo ligeramente en las series de 3 conjunciones: de la 1ª a la 4ª, o de la 2ª a la 5ª,...

No son exactamente iguales porque no son 2/3 exactos y por ello el lugar de la conjunción (mejor dicho de la alineación) se desplaza levemente respecto a la correspondiente anterior en el ciclo de 3: Si fuese 2/3 la cuarta alineación (IV) debería coincidir en el mismo lugar que la primera (I) , pero en realidad está un poco desplazada como se ve en el siguiente gráfico.

Veamos cuánto es ese desplazamiento:

A partir del resultado anterior de que las alineaciones se producen cada 19.86 años: En ese tiempo Saturno habrá recorrido Vs x t=12.22º x 19.86 = 242.7º que son 2.7º más de los 2/3 de vuelta (240º) y por ello en 3 alineaciones, cuando se repetiría el lugar, el desplazamiento respecto a la posición inicial será 2.7º x 3 = 8.1º , lo que queda representado en este gráfico:

Direcciones del los dos planetas en 4 alineaciones sucesivas (I, II, III y IV)

Concretemos ahora la situación con los parámetros y circunstancias reales. Si pasaste de los números, puedes seguir por aquí. Esto ya no es aritmética, sino solo lógica.

Teniendo en cuenta los valores calculados y los parámetros orbitales de Júpiter y Saturno, puede elaborarse una representación de las alineaciones correspondientes a las conjunciones de la tabla (desde 1563 hasta 2080)

Estos parámetros varían muy lentamente a lo largo de los siglos, por lo que en las fechas que trabajamos podemos considerarlo constantes, y por ello las circunstancias de las alineaciones  que a continuación se describen serán cíclicas y ajustadas a ese esquema orbital.

Las conjunciones más favorables se producirán en las cercanías de los dos puntos en que, (vistos desde aquí) se cruzan las órbitas de ambos planetas: uno cerca de los nodos ascendentes AS y otra cerca de los descendentes DES. A estos puntos favorables les llamaré PFAS (Punto Favorable Ascendente) y PFDES respectivamente. Si la conjunción se produjese justo en uno de esos puntos, los dos planetas coincidirían exactamente y Júpiter ocultaría a Saturno. La posición de estos puntos varía solo muy levemente según la posición de la Tierra en su órbita en el momento de la conjunción, y cuando los planetas se sitúen en sus proximidades las conjunciones serán “buenas”, con poca separación entre ambos.

Gráfico en perfil del cruce de las órbitas visto desde el Sol (y aproximadamente desde la Tierra). Es solo un esquema y se han exagerado las inclinaciones orbitales para una mejor visualización. Se ha ampliado una zona para clarificar el significado de algunos datos (en rojo), que en el gráfico están exagerados.

Con todos estos datos, se pueden representar las posiciones de los planetas en las conjunciones con el Sol relativas a la tabla en la que aparecen numerados de la 1 a la 27… e incluso se han añadido alguna más. Es un gráfico elaborado con recursos informáticos, pero cuyos parámetros luego calcularemos y comprobaremos.

A partir de ello se pueden seguir analizando algunas otras consecuencias:

 - Las conjunciones “cercanas” con separaciones de menos de 0.5º van ocurriendo en series de una de cada 3 (aproximadamente cada 60 años) hacia adelante o hacia atrás (antes de 2020 fue en 1961, 1901, 1842, correspondientes a los números 24, 21, 18, 15, aunque la proximidad de los planetas (en esta secuencia hacia atrás) va empeorando: 0.1º, 0.23º, 0.44º, 0.54º y llega un momento en que se intercalan con otras más cercanas de otra serie.

El tema de los 2/3 hace que al cabo de 3 conjunciones el lugar donde están los planetas es similar, pero como no es exacto (por la diferencia de 8.1º) llega un momento en que la excesiva separación del Punto Favorable hace que la distancia sea mayor de 0.5º y se rompe la norma.

Por otra parte en sentido contrario (hacia adelante) quizás más clarificador es el proceso de las alineaciones 4, 7, 10 (e incluso la 13) que aún siendo buenas cada vez son peores con separaciones de  0.09º, 0.27º, 0.49º (0.71)

Series de conjunciones correspondientes a los ejemplos citados (flechas rosadas desde 2020 hacia atrás y verdes desde 1623 hacia adelante). Incluso las series malas (como las señaladas con las flechas amarillas) también van de 3 en 3

Este alejamiento de las zonas de las conjunciones respecto al punto PFAS de la serie 4, 7 ,10, 13 hace que las de otra serie se acerque al punto favorable opuesto PFDES, que la 15 mejore a la 13 y que se inicie otra serie de conjunciones favorables 15, 18, 21, 24

Así la secuencia de conjunciones favorables sería 1, 4, 7, 10, 15, 18, 21, 24, 27 … Las primeras cerca del PFAS y las últimas cerca del PFDS

Los dos tramos verdes son de igual amplitud y es la referencia para ver que la 15 es mejor que la 13 (y sobre todo mejor que la 16)

D- En la tabla se ve que las conjunciones muy buenas (del orden de 0.1º) van por pares (siempre separadas por 60 años) como en 1563-1623 o 2020-2080, cuando el lugar en que ocurre la primera del par se acerca al PF y luego la segunda se pasa (cercanía por defecto y por exceso), aunque también podría haber tríos formados por una excelente (si ocurre muy cerca del PF), escoltada por otras dos relativamente buenas pero no tanto, como ocurrió en 1226 o 2874, según recojo aquí con datos también  de las efemérides pero con una amplitud mucho mayor. Se indica el año y la separación

Como se puede apreciar, entre estas series pasan siempre unos 4 siglos, y con los datos  obtenidos anteriormente se puede calcular esos periodos promedios (y contrastar con las efemérides) o lo que es lo mismo, cuántas conjunciones deberán ocurrir entre unas y otras:

Esos 4 siglos es el tiempo que tiene que pasar desde una conjunción que ocurre cerca del PFAS hasta otra que ocurra en PFDES (o viceversa).

Los cálculos se pueden hacer mediante gráficos, midiendo con cuidado los ángulos con un transportador, pero siempre es más preciso con cálculos numéricos:

Según se puede apreciar en el siguiente gráfico, para pasar de un PF al otro si la alineación 1 está cerca de PFAS primero  hay que considerar el paso de la alineación 1 a la 3: Según se calculó, son 242.7º x 2 = 485.4º = una vuelta + 125.4º y calcular luego cuántas le faltan para los 180º, y así llegar al PFDES. Siempre deberá ser un número de alineaciones múltiplo de 3 para seguir en su misma serie e irse acercando poco a poco al PFDES. Serán la 6, la 9,…

180-125.4= 54.6º . En 3 alineaciones se calculó que el desfase era 2.7º x 3 = 8.1º.  

¿Cuántos tríos de alineaciones faltan para cubrir los 54.6º? :  54.6º/8.1º = 6.7  Como tiene que ser un número entero, serían 6 o 7 ciclos de 3 (18 o 21) más las dos iniciales (en el paso de 1 a 3) son 20 o 23 alineaciones, según se tome una u otra de las alineaciones de la pareja.

Si consideramos el tiempo, como de una a otra pasan 19.85 años, los intervalos serían 19.85 x 6 (o x 7) y salen 397 o 457 años  ¡Efectivamente, concuerda con los datos de las efemérides! ¡Clavado!

El hecho de que la distancia de una pareja a otra (o a un trío) en ocasiones sea 397 años y en otras 457 se debe a varias circunstancias: Por un lado la posición de la Tierra en su órbita atrasa o adelanta ligeramente las fechas de las conjunciones respecto a las alineaciones, también influye la segunda ley de Kepler que hace que un planeta llegue un poco antes o después al PF, o a la decisión de qué elemento del par debe considerarse si son similares. Por ejemplo en el par actual de 2020 y 2080 las separaciones entre los planetas son iguales (0.1º). De cara a calcular la distancia a la anterior pareja o a la siguiente, los resultados concuerdan exactamente, según tomemos 397 o 457 años

En todo este proceso pueden utilizarse otras estrategias numéricas, como por ejemplo calcular y utilizar la fracción de vuelta que recorre Saturno de una alineación a otra (0.673), acumularlas y tomar solo la parte decimal hasta llegar a 0.5 (cuándo llega a situarse media vuelta casi exacta del punto de partida, independientemente de las vueltas que haya completado), y los resultados finales coinciden. Podríamos hacerlo, o puedes intentarlo tú en otro momento, pero creo que por hoy ya han sido demasiados números. Como siempre se puede colar algún error y no lo he repasado demasiado, si algo no te cuadra me lo puedes poner en un comentario.

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Edito el post el 4-12-2020 y añado este nuevo apartado porque me lo han pedido.

La posición de la Tierra también cuenta, pero menos.

En todo lo anterior se han considerado solo las alineaciones de Júpiter y Saturno con el Sol, olvidándonos de la Tierra porque su órbita es mucho más pequeña (y por tanto también la diferencia en la separación angular de los planetas será pequeña), y las conjunciones vistas desde aquí se producirán en fechas próximas (aunque hasta con unos meses de diferencia) a las citadas alineaciones, tal como se indicó en el primer artículo sobre el tema, ilustrado por un gráfico casi igual a éste que recoge el momento de la alineación con el Sol (31-10) y la conjunción (21-12). 

Los tamaños de las órbitas están a escala y las posiciones de los planetas se ajustan a la realidad.

Pero puede ser interesante señalar que en esta conjunción del 2020 al ocurrir cuando la Tierra se encuentra casi en la zona más lejana en su órbita respecto a los dos planetas (relativamente cercanos ya a su conjunción con el Sol), la proximidad entre Júpiter y Saturno vistos desde aquí es mayor que si hubieran ocupado estas mismas posiciones a finales de agosto, en cuyo caso también se habría visto la conjunción (según se aprecia en el gráfico, el 25-8 la Tierra estaba en esa misma línea) pero "desde más cerca", por lo que no les hubiésemos visto tan juntos.

Concretamente, en ese caso la separación hubiera sido de 0.12º en vez de 0.10º, diferencia que es relativamente pequeña.

Si todavía te quedan ganas puedes intentar hacer el cálculo que nos proporciona ese resultado, teniendo en cuenta que la distancia de la Tierra a Saturno el 25-8 o el 21-12 está en proporción de 5 a 6 aproximadamente, como incluso podría medirse en el gráfico, ya que con estos números no hace falta demasiada precisión.

Como los ángulos son muy pequeños la relación entre ellos será inversamente proporcional a la relación entre las distancias y sería suficiente con hacer 0.1º x 6 / 5 = 0.12º, pero desde el punto de vista didáctico y de comprensión teórica, yo en 4º de ESO haría que el alumnado lo calculase utilizando la trigonometría. Hay que hacer simplificaciones o modificaciones de la situación exacta, pero se obtienen los resultados correctos y sería un aliciente para que entendieran que las extrañas fórmulas trigonométricas son útiles y sencillas de utilizar:

También se puede calcular la influencia máxima, debido a la posición de la Tierra, en la separación de Júpiter y Saturno en cualquiera de sus conjunciones, a partir del dato de la distancia de Saturno al Sol en su perihelio (9.05 unidades astronómicas) que es cuando ese factor tendría una mayor oscilación.

Así las distancias máxima y mínima de la Tierra con Saturno en ese caso serían 10.05 y 8.05 u.a.  y la relación entre ellas 10.05 / 8.05 = 1.25 , solo ligerísimamente mayor al estudiado en la presente conjunción, y que es muy inferior a las variaciones que se producen en la separación de los planetas en las diferentes conjunciones por los motivos geométricos recogidos arriba, donde se prescindía de la posición de nuestro planeta.

Es curioso señalar que por este motivo de la posición de la Tierra en su órbita la conjunción será más cerrada cuando la elongación de los planetas es pequeña, pero eso dificultará su observación. Yo preferiría una separación de 0.12º en vez de la que espero ver de 0.1, y poderla observar toda la noche incluso con los planetas altos en el cielo, en oposición al Sol.

Todos estos desarrollos pueden parecer excesivamente laboriosos, pero poco a poco (y con la ayuda y explicación detallada) pueden ser seguidos por alumnado de secundaria y les motiva mucho el que mediante sus cálculos, utilizando solo los datos de los periodos orbitales y las distancias, obtengan los resultados que concuerdan totalmente con lo que nos suministran las efemérides, y el proceso les ayuda a entender la situación.