Unas curvas muy astronómicas

Primera lección del curso: Cónicas. ¡Uff!

Suele dar pereza volver a empezar el curso, y a mí también me ha dado un poco el ponerme otra vez con el blog porque ya acabaron las vacaciones, atrás quedaron esos post más ligeros que recogían bonitas imágenes del cielo pero no exigían ponerse a pensar demasiado, y ahora toca “meterse en harina” con algo más académico.

Por fin me he decidido a sentarme delante del teclado, por dos motivos: Por una parte tenía algo pendiente desde hace un tiempo, una anécdota personal que en algún momento tendría que contar, y por otra, la noticia reciente del descubrimiento de un extraño cometa que viene de muy lejos.

Las dos excusas para escribir este artículo: mi regalo y el cometa Borisov

Aunque aparentemente no tienen nada que ver entre sí, algo hay en común en ambos temas.

Como es principio de curso, manteniendo la tradición voy a tener en cuenta dos criterios: Lo primero no entrar a tope el primer día y pasar un rato contando chascarrillos para ganarte a los estudiantes. Por ello os pido un poco de paciencia a los forofos de la astronomía, porque la introducción está al margen de lo nuestro, pero para mí es un tema tan curioso, que se merece unos preámbulos.

Además debo hacer algo que también es frecuente en los principios de curso: Repasar o recordar cosas que ya se vieron, para refrescar la memoria antes de seguir, aunque en este caso sea con el objetivo de darle un enfoque algo diferente.

Como en estas fechas solemos echar la vista con añoranza a aquellos días en que comenzaban las vacaciones, voy a aprovechar la mencionada anécdota que me ocurrió a principios de julio:

Fue un regalo que recibí de los colegas de ApEA al dejar la presidencia de la asociación, y que me hizo muchísima ilusión. Porque fue inesperado y también porque, aunque no era obvio, acerté de qué se trataba nada más verlo:

¿Qué es esto?

Lo he ido enseñando por ahí, y preguntando.

La mayoría de las personas a quienes se lo he mostrado directamente, han dicho: “Un cofrade de Semana Santa”. Otros simplemente “Un cono”.

El nudo de la madera, colocado estratégicamente, nos hace pensar en un ojo y la cosa queda meridianamente clara (más teniendo en cuenta que me lo dieron en Andalucía donde las procesiones de Semana Santa son carismáticas), aunque yo no fue lo primero que pensé y me costó un par de minutos el caer en esa posibilidad del cofrade nazareno.

Hice luego una pequeña encuesta enviando a amigos y colegas estas imágenes y pidiéndoles que me dieran su opinión.

Aunque yo no lo esperaba, la mayoría de quienes solo lo vieron en foto (unos recibieron las 3 imágenes y otros solo la primera), les pareció un puzle para montar un cono, o dieron la misma respuesta que a mí se me ocurrió, y lo solté en voz alta cuando conseguí desenvolverlo: -“¡Las cónicas!” 

En realidad yo creo que todas las respuestas son válidas, y el vendedor te daría este objeto si le pidieras “esa cosa rara” que tienes en el escaparate, independientemente de que en lugar de “esa cosa rara” le dijeras “cono”, “puzle”, “nazareno” o “cacharro con las cónicas”.

Pero como este es un blog de astronomía, me quedo solo con lo último.

Se les llama cónicas a las curvas que se obtienen como intersección de un plano con un cono (o una doble superficie cónica).

Si el plano es perpendicular al eje del cono, sale una circunferencia.

Si lo vamos inclinando “esa circunferencia se alarga” y aparece la elipse, hasta que el plano llega a ser paralelo a la generatriz (diríamos que su inclinación es igual a la de la pared del cono) y se alarga hasta el infinito, quedando una parábola. Inclinando todavía más el plano la curva queda mucho más abierta, sus ramas se parecen cada vez más a una recta, y se le llama hipérbola. 

¿Y qué tienen que ver estas curvas cónicas con los astros?

Luego lo explico. Pero antes hay que decir que las cónicas están también en muchos objetos de la vida diaria:

Paseando por la calle te puedes encontrar cualquiera de ellas, alguna muy fácilmente y otras no tanto:  Curiosamente la que debería de ser la más difícil porque es una posición crítica, la parábola, es la más fácil de encontrar porque las leyes físicas la reproducen de manera automática en muchas fuentes o la trayectoria de cualquier objeto que tiremos en cualquier dirección no vertical.

Una vez me dio por salir a buscar cónicas por Bilbao, ayudado por mi familia, y el paseo fue fructífero porque conseguimos encontrar todas. Por cierto, esto nos ayudó a ganar el premio Ciencia en Acción en el año 2003, en la modalidad de matemáticas, (además del módulo de la sombras cónicas que alguna vez he presentado en este blog).

Plaza “Federico Moyúa” de Bilbao, conocida por la gente como “La plaza elíptica”

Aunque "la plaza elíptica” es todo un símbolo de Bilbao, también encontramos la elipse además de la circunferencia y la parábola en la Plaza Circular.

La Plaza Circular, con su nombre colocado en una elipse y la fuente llena de parábolas.

Desde entonces para nosotros ya no es la Plaza Circular, ni tampoco la Plaza España como mucha gente recuerda por su antiguo nombre, sino "La plaza de las cónicas"

Nos faltaba todavía la hipérbola, evidentemente la más difícil, pero creo que la encontramos aquí:

Aunque su autor, el famoso arquitecto Santiago Calatrava, indica que el arco de su puente es una parábola, las clarísimas ramas hiperbólicas, casi rectas en los extremos, dicen poco en favor del profesor que tuviera en 6º de bachillerato.

En objetos artificiales siempre podremos encontrar o construir cualquier cónica (en  mi regalo están todas). Pero ¿en la naturaleza? Está claro que la parábola sí, en cualquier salto de agua, ejemplos de círculos hay muchos, e incluso de elipses, pero ¿Todas las cónicas a la vez en un mismo fenómeno?

Yo solo conozco dos ejemplos reales y naturales en que aparezcan todas las cónicas, y solo ellas. Curiosamente los dos corresponden a temas de astronomía y por ello mi “nazareno” encaja perfectamente en un blog de astronomía:

Tanto la hipérbola, la parábola, la elipse o el caso particular de la circunferencia aparecen en las órbitas de los astros (todas las órbitas son cónicas y hay ejemplos de todas ellas) y en las sombras que produce un objeto sobre el suelo a lo largo del día (también aquí aparecen todas). Dos temas que no tienen nada que ver entre sí, pero ambos son claramente astronómicos y por eso aparecen aquí compartiendo este artículo.

Las sombras:

Si consideramos un punto de la sombra que proyecta un objeto sobre un plano (por ejemplo la sombra del extremo de un listón vertical sobre el suelo) y vamos marcando la posición que ese punto va ocupando a lo largo del día debido al movimiento aparente del Sol, siempre nos quedará trazada una cónica.

Esto ya lo conté en otros artículos, y espero detallarlo luego. 

Concretamente si consideramos el plano del suelo, en latitudes menores de 66º 33´ cualquier día del año excepto en los equinoccios, las sombras dibujarán hipérbolas. Aquí la cónica más extraña de todas es la más común.

Pero si viajamos hasta el círculo polar en la mencionada latitud e incluso más, nos aparecerán también parábolas y elipses, según la fecha. 
Y en el mismo polo las sombras dibujan circunferencias cualquier día de primavera o verano en que el Sol no se oculta.

- “¿Y qué pueden saber de geometría las sombras como para dibujar esas líneas?”

Como para un primer día de clase puede ser “duro”, en el siguiente detallaré más, pero todo es lógico y ni siquiera hay que hacer muchos cálculos.

Las órbitas de los astros:

Siempre se dice que las órbitas de los planetas alrededor del Sol, o en general de cualquier astro alrededor de otro, son elipses. Esta es la primera ley de Kepler, pero hay que decir que si se quieren incluir todos los casos (también los astros menores como cometas y algún extraño asteroide) debería sustituirse la palabra “elipse” por “cónica”. 

Hay muchas órbitas que son prácticamente circulares, como la de la Tierra, tal como conté en “¿tienes algo tan redondo como la órbita de la Tierra?” aunque las de algún que otro planeta son un poco alargadas, y así si decimos "Elipse" incluimos a todas, ya que la circunferencia es un caso particular de elipse.

La diferente forma o alargamiento de la elipse viene determinada por un parámetro llamado “excentricidad”: un número que es mayor o igual a cero  y menor que uno. 
En el caso particular de la circunferencia la excentricidad es cero, y también se utiliza este parámetro, aunque con una definición más general que ya se verá, para medir "el aspecto" de las otras dos cónicas. Las parábolas tiene excentricidad 1, y las hipérbolas un número mayor que 1 de manera que cuanto mayor sea, más abierta es la hipérbola.

Entre los planetas, el de órbita más excéntrica (desde hace 13 años) es Mercurio con excentricidad  e=0.2 y el menos (el de órbita más redonda) es Venus con e=0.007. Hay satélites (como Tritón) cuya excentricidad orbital es aún menor, casi cero, y es prácticamente circular, y otros como Nereida e=0.75, extremadamente alargada. Curiosamente, ambos son satélites de Neptuno.

El circulito amarillo representa al Sol, la línea morada podría ser la órbita circular de un planeta (p. ej. Venus, o incluso la Tierra, que a esta escala es indistinguible de un círculo perfecto). La línea azul una órbita relativamente elíptica (P. ej. la del cometa Encke) la verde una órbita parabólica (P. ej. del cometa Ikeya-Everhart) y la marrón una hiperbólica (similar a la del cometa Borisov)

Pero también hay algún caso de excentricidad 1, cometas de órbita parabólica que vienen y se van sin decir “hasta luego”, e incluso hiperbólicas, con excentricidad mayor que u…

En este momento el profe se da cuenta que un alumno, que ha estado toda la hora a su bola intentando jugar con el móvil por debajo del pupitre, tiene la mano levantada como si de repente se hubiera interesado por el tema de clase:

- “¿Y qué pasaba antes de esos 13 años?”

- “Que Plutón era planeta y su excentricidad es incluso mayor que la de Mercurio (e=0.24)”. Le contesta el paciente profe, antes de interesarse por el juego ese que, según parece, debe ser más atractivo que el maravilloso mundo de las cónicas.

Aunque en las noticias de astronomía, que afortunadamente cada vez proliferan más en los medios, no suele hablarse casi nunca de excentricidades, de cónicas y menos de hipérbolas, esta palabra está de moda desde hace unos días porque parece que se ha descubierto el segundo astro que nos visita procedente de fuera del sistema solar: el cometa C/2019 Q4-Borisov.

- “¿Y cómo saben que viene de fuera?”

 Porque la trayectoria que está siguiendo desde que ha sido descubierto se ajusta a una hipérbola, y además de una gran excentricidad. Viene de muy lejos, nos dice “hola” a toda velocidad, da un pequeño quiebro y se marcha para siempre. Lo mismo que ocurrió hace menos de un año con el controvertido asteroide Oumuamua, del que incluso alguien dijo que podía ser una nave extraterrestre.

Bueno, parece que ha tocado ya el timbre de final de clase y ni siquiera la última frase, pronunciada a propósito, consigue mantener la atención del alumnado, que se levanta con un suspiro de alivio y escapa al pasillo a tomar aire, mientras el profe se queda con la palabra en la boca:

-“Vale..., el próximo día detallaremos más”