Algo más que dar la hora

¿Quieres saber por dónde saldrá mañana el Sol, y a qué hora? ¿o en cualquier otra fecha? o ¿Cuánto durará el día?

No es necesario consultar las efemérides o bases de datos. Un simple reloj de Sol permite averiguarlo. Incuso la duración del día y la noche en otros lugares de la Tierra en cualquier día del año.

Han aparecido en este blog varios artículos sobre relojes de sol muy diferentes, algunos curiosos, otros más didácticos, porque estos instrumentos me parecen apasionantes y se puede aprender mucho con ellos.

Los relojes de Sol surgieron con el objetivo lógico de indicar la hora. Sin embargo aunque actualmente han perdido dicha utilidad, cada vez se ven más, y como auténticos monumentos se colocan en plazas, rotondas, fuentes, y otros lugares destacados.

Reloj solar horizontal en Irala (Bilbao) integrado como elemento de mobiliario urbano, de noche es un punto de luz que ilumina el pequeño auditorio.

No son solo adornos, como pueda serlo cualquier escultura que veamos por la calle, sino que tienen un valor cultural y científico.

Incluso cuando está nublado, con su observación se pueden obtener datos interesantes.

Entre todos los tipos de relojes solares, por sus diversas utilidades yo me quedo con el ecuatorial cilíndrico, modelo que recogen estas dos imágenes.

Como elemento monumental y escultórico-científico en un parque (junto al puerto de Palma), o didáctico en el patio de un instituto. (IES Angela Figuera-Sestao)
Además del reloj principal en la cara interna del cilindro, en ambos se ha trazado otro en la cara externa, sin gnomon,  y la frontera entre la zona sombreada e iluminada determina la hora 

En esencia un reloj solar cilíndrico consta de una superficie cilíndrica o parte de ella, en cuyo eje está colocada la varilla o gnomon de manera que su sombra se proyecte en la cara interna de dicho cilindro.

Aunque tradicionalmente es mucho menos frecuente que el reloj vertical, posiblemente porque los materiales necesarios no son tan fáciles de encontrar, no hay duda de que este reloj tiene mayores valores didácticos que cualquier otro.

Es el más lógico, el más fácil de entender su funcionamiento, el más sencillo a la hora de trazar las líneas horarias y el que mejor refleja el movimiento aparente del Sol.

Una vez construido, a partir de él se visualiza directamente cómo debe ser el recorrido diario del Sol, e incluso en días en que esté nublado tiene unas utilidades didácticas muy importantes.

Reloj para el polo

De cara a entender su funcionamiento se puede empezar analizando la situación en el polo en primavera o verano y pensar cómo debería ser un reloj cilíndrico colocado allí.

Las 24 horas hay sol y éste se mueve dando vueltas paralelo al horizonte. Por ello el gnomon de nuestro reloj será vertical y su sombra se mueve uniformemente 15º cada hora (360º/24=15º) por la pared del cilindro. Ahí se marcarán las 24 líneas horarias verticales y equidistantes, cada 15º.

Trayectoria del Sol desde el polo en primavera y verano, y un reloj cilíndrico para esa latitud.

Para su elaboración puede utilizarse cualquier cilindro, siendo muy adecuados los tubos de cartón que se utilizan en embalajes, a partir de 10 o 15 cm. de diámetro p. ej. que se cortan fácilmente con un cúter o una pequeña sierra, pudiendo utilizarse también trozos de tubería, botes, etc.

Como tomar las medidas angulares y trazar las líneas en la cara interna de un cilindro no es fácil, se aconseja hacerlo en un papel que se pegará luego en el interior del cilindro. Primero se calcula la longitud de la circunferencia de la cara interna, se divide entre 24 y el resultado será la separación entre dos líneas horarias consecutivas que al colocarlo en su lugar corresponderá a 15º.

Para el ecuador y otras latitudes

Antes de plantearnos el hacer un reloj cilíndrico para nuestra latitud conviene analizar otro caso particular que por su sencillez nos ayudará a comprender las diferentes situaciones. Además del correspondiente al polo, pensemos cómo sería un reloj para el ecuador, e incluso podemos elaborarlo.

Allí la latitud es 0º y el gnomon, como en todos los tipos de reloj solar, será horizontal. De esta manera habrá que colocar también el cilindro con la línea de las 12 (hora solar) en la parte inferior.

Su zona útil, donde dará la sombra del gnomon, será el semicilindro colocado debajo del plano horizontal que contiene a dicho gnomon. Lógicamente siempre que sea de día el Sol está por encima del gnomon y su sombra por debajo. El resto del cilindro, la mitad superior, no es necesario y habrá que cortarlo y quitarlo.

Reloj cilíndrico para el ecuador

Si se utiliza un tubo de cartón y otro material que pueda deformarse al cortarlo de esta manera, conviene dejar en ambos extremos un trozo de cilindro completo como en la figura de la derecha.

Este reloj en el ecuador funcionará todos los días las 12 horas en que es de día. En el ecuador los días y las noches son siempre iguales, y este reloj ayuda a visualizar y entender mejor esta situación.

Para otra latitud cualquiera esencialmente el reloj debe ser igual, trasladado paralelamente hasta ese lugar.

Tanto el cilindro como el gnomon están siempre paralelos al eje de la Tierra y por tanto forman un ángulo igual a la latitud respecto a la horizontal, como se dijo en "La varilla torcida" 

Únicamente hay que coger el reloj del ecuador e inclinarlo ese ángulo.

Se puede colocar en la base una cuña adecuada a la latitud para apoyarlo sin problemas como en el siguiente dibujo de la izquierda, o cortar adecuadamente el cilindro por su parte inferior para apoyarlo en una base horizontal como aparece en la derecha.

La primera solución parece más adecuada por su sencillez, pero la segunda es más elegante.

Las claves: cilindro inclinado según la latitud y líneas horarias equidistantes cada 15º

Los modelos que aparecen en el gráfico recogen solo 12 horas; pero en cualquier lugar diferente del ecuador, en primavera y verano el día dura más de esas 12 horas, por lo que se puede hacer una mejora para que funcione siempre que sea de día.

Un reloj que recoge todas las horas

¿Por qué no adecuar aquí también la superficie del cilindro a todas las horas en que, a lo largo del año está el Sol por encima del horizonte, tal como ocurría en los dos modelos descritos anteriormente para el polo y el ecuador?

Efectivamente; el modelo a colocar en el polo que se ha descrito al principio funcionará siempre que haya sol: las 24 horas en primavera y verano. El modelo del ecuador todos los días del año recoge 12 horas. Al modificar la latitud, es decir la inclinación del cilindro, si queremos que siga siendo tan eficaz tendremos que cortar la arista superior según un plano horizontal que pase por el extremo del gnomon.

Corte del cilindro para que recoja todas las horas de sol

Siempre que sea de día el Sol está por encima del horizonte y por ello la sombra del extremo del gnomon caerá por debajo del mencionado plano. 
Por otra parte si no hiciésemos este corte y simplemente inclinásemos el modelo del polo, en otoño e invierno la propia sombra de la pared del cilindro cubriría totalmente el gnomon e impediría el funcionamiento en invierno. Y si inclinamos el modelo del ecuador como en los gráficos anteriores, se perderían las horas adicionales de sol de primavera y verano al principio y final del día.

Para hacer este corte plano que nos dé la arista superior o la inferior se pueden utilizar varios métodos de lo más diversos, siendo el más exacto el cálculo mediante fórmulas trigonométricas de la arista desplegada: Si R es el radio del cilindro y lat la latitud del lugar, se dibuja en un papel la gráfica de    y= R.cos (x/R) / tg (lat), se recorta, y rodeando al cilindro con la plantilla resultante se marca y se corta el cilindro.

Pero teniendo en cuenta que estamos usando procedimientos sencillos, lo más adecuado y fácil de entender sería una vez inclinado el cilindro según la latitud y fijado por ejemplo con una cuña, colocar una superficie horizontal a su alrededor, por ejemplo varios libros, y sobre su superficie deslizar horizontalmente un lapicero que vaya marcando en el cilindro la línea por donde deberemos cortar luego, como en el gráfico.

Una manera de marcar la arista horizontal

La línea sobre la que se debe apoyar en el suelo el cilindro es paralela a ésta, y una vez realizado el corte en la primera lo más adecuado es rodearlo de una hoja de papel sobre la que se dibujará el borde horizontal del cilindro (si no se he hecho antes, por la fórmula), recortar y obtener así una plantilla que nos servirá para el otro corte o incluso para elaborar otros relojes con cilindros del mismo diámetro.

Si previamente a cortar el cilindro de esta forma se han marcado las líneas horarias sobre un papel colocado en el interior,  desplegando este papel se obtiene una superficie parecida a un trapecio, análoga a la del gráfico de la superficie útil que aparece más adelante. Esta superficie recogerá todas las horas de día en cada fecha. 
Para una latitud de unos 40º la parte superior recoge 9 horas aproximadamente, que será el recorrido de la sombra del extremo del gnomon el solsticio de invierno y la inferior unas 15 horas corresponde al solsticio de verano.

Calendario

En la mayoría de los relojes de sol el trazado de las líneas de calendario, que son recorridas por el extremo de la sombra del gnomon en fechas determinadas es bastante complejo porque son hipérbolas y hay que hacerlo punto a punto. Sin embargo en el reloj cilíndrico es relativamente sencillo porque son círculos (o rectas en la superficie desplegada) y además aporta varias utilidades didácticas que una vez elaborado el reloj  lo convierten en un instrumento que permite obtener una serie de datos muy interesantes.

En un reloj de sol la longitud del gnomon no suele ser importante porque la línea en la que se sitúa la sombra de todo él no depende de su longitud. Sin embargo para determinar la fecha es fundamental porque la posición de su extremo será el indicador de la misma. En primavera y verano el Sol está más alto (tiene declinación positiva) y por ello el extremo de la sombra estará más bajo. Lo contrario ocurrirá en otoño e invierno.

Si, como se ha indicado, hemos cortado la arista del cilindro a la altura del extremo del gnomon para poder aprovechar todas las horas de sol, podremos obtener la función del calendario también todo el año.

Para empezar se traza la línea correspondiente a los equinoccios, perpendicular a las líneas horarias, y a la altura del extremo del gnomon (si el cilindro estuviera vertical). A partir de ella para trazar la línea de calendario de una fecha concreta se parte de la declinación solar (delta) en ese día. Siendo R el radio del cilindro, la distancia x entre esta línea y la línea central de los equinoccios es  x = R . Tg (delta), aunque también se puede calcular sin trigonometría dibujando el triángulo de la figura y midiendo con una regla. Si la declinación es negativa la línea está más arriba que la del equinoccio y si es positiva más abajo. De esta manera se van obteniendo una serie de líneas perpendiculares a las líneas horarias que nos proporcionarán aproximadamente la fecha.

Cálculo de las líneas de calendario

Para el trazado de las líneas de calendario hay dos opciones en cuanto a la elección de las fechas que se marcarán como referencia. La solución clásica es marcar las líneas correspondientes a los cambios de los signos zodiacales (aproximadamente el día 21 de cada mes).

Aunque es mucho más lógico y fácil de leer si se marcan los inicios de cada mes, debido al doble sentido ascendente y descendente de los intervalos (en los meses de otoño la sombras cada vez está más alta y coincidirá con la posición de invierno en que va bajando), estos se van solapando y aparecen demasiadas líneas. En el caso de las líneas zodiacales coinciden las ascendentes con las descendentes tal como se aprecia en el gráfico y queda más claro.

Superficie útil desplegada, con líneas horarias y de calendario.

Con ello ya tenemos un reloj-calendario solar, mucho más fácil de trazar y más lógico que otros modelos. Aquí las líneas horarias son equidistantes, lo que no ocurre en otros relojes solares, en que los ángulos entre esas líneas son diferentes unos de otros.

Correcciones para obtener la hora oficial

En los relojes solares es costumbre indicar las líneas de hora solar verdadera, porque esa era la que regía cuando estos instrumentos se utilizaban para saber la hora. En cada localidad era diferente según la longitud geográfica, y el mediodía solar verdadero ocurría a las 12, cuando el Sol estaba exactamente en el Sur.

Pero actualmente la hora oficial es diferente y aunque en cualquier reloj solar pueden calcularse las líneas adecuadas para obtenerla, es algo complicado. Sin embargo en el caso del reloj cilíndrico es relativamente sencillo. Hay que hacer dos correcciones: por un lado según la longitud geográfica, y por otra parte la ecuación del tiempo.

La primera se corrige de una manera muy fácil desplazando todas las líneas horarias a izquierda o derecha según la longitud sea Oeste o Este. 4 minutos de tiempo por cada grado de longitud. Además se ajustará la numeración a la hora vigente (partiendo de que el mediodía ocurre alrededor la las 13 o las 14 horas, según el horario de invierno o verano)

También se puede añadir el analema de la ecuación del tiempo en forma de 8, que sustituye a cada una de las líneas horarias. En los clásicos relojes verticales y en otros tipos hay que calcular un analema diferente para cada hora y además la escala es compleja. En este modelo, una vez trazadas las líneas de calendario es muy sencillo y además todos los analemas son iguales, por lo que una vez calculado uno de ellos se puede hacer una plantilla de cartón y copiarlo en cada línea

Estas correcciones, cuyo motivo expliqué en “La hora de los relojes de sol” son, como se ha dicho, mucho más sencillas de realizar en éste, que en cualquier otro tipo de reloj solar.

Correcciones para obtener la hora oficial, realizadas en este reloj del patio del instituto de Sestao y en esta maqueta.

Otras utilidades

Después de cortar el cilindro de la manera indicada y una vez trazado el calendario, las líneas de los solsticios (líneas superior e inferior) y la arista del corte del cilindro nos delimitarán la superficie útil sobre la que se proyectará el extremo de la sombra en cualquier momento del año que sea de día, y con ello conseguimos varias utilidades con solo observar nuestro reloj y sin necesidad de que haga sol. Entre otras, las siguientes:

a) Duración del día según la fecha, que nos la dará la longitud de cada línea de calendario, y se determina fácilmente por su intersección con las líneas horarias.

Por ejemplo vemos en el gráfico de la superficie útil desplegada que el 20 de abril el día en nuestra latitud dura  poco más de 13 horas (1) o el 22 de diciembre solo 9 horas (2),

b)  Horas de salida y puesta de sol en cualquier fecha en un horizonte teórico. Irán determinadas por la línea horaria en que se encuentren situados los puntos de corte de la correspondiente línea de calendario con la arista superior del cilindro.

Por ejemplo el Sol se pondrá el 22 de diciembre a las 16:30 (hora solar) (3),  todo lo cual está indicado en el gráfico de la superficie desplegada.

c) Lugares de salida y puesta de sol según la fecha. Se visualizarán alineando los mencionados puntos de corte de la correspondiente línea de calendario con la arista superior del cilindro, con el extremo del gnomon, y prolongando hasta el horizonte teórico.

Para facilitar esa labor se puede colocar el calendario también en la arista

En la arista de este reloj se han remarcado las fechas, en la franja azul, para facilitar esta función.

Puesto que al comienzo del día (Sol en el horizonte) el extremo de la sombra incidirá en un punto concreto (según la fecha) de la arista del cilindro, alineando ese punto con el extremo del gnomon, queda enfilado el lugar por donde saldrá el Sol (4), y análogamente desde la otra arista se ve el lugar en que se pondrá.

Lugares del horizonte por donde saldrá el Sol en los equinoccios o solsticio de verano

Analizando la situación en lugares lejanos

Aunque nunca los utilizaremos como reloj, puede ser interesante construir además diferentes modelos para el polo, los círculos polares, los trópicos o el ecuador; porque con ellos estas utilidades didácticas mencionadas cobran un valor añadido al permitir visualizar lo que ocurre en esos lejanos lugares y comparar las distintas situaciones.

Relojes cilíndricos para el ecuador, una latitud intermedia, el polo y el círculo polar

Se puede dibujar las horas y el calendario en un papel que se copiará para cada reloj, y al cortar con un plano horizontal lo que queda pegado al tubo es la superficie útil que nos da la información:
Tal como se ha indicado antes, en el reloj del ecuador se ve que todos los días duran 12 horas, y se puede ver la amplitud de los lugares de salida o puesta de sol (serán solo 23.5º). 
En el del polo se ve que hay luz los días de primavera y verano durante 24 horas.
Y en los círculos polares en  el solsticio de invierno hay un día que dura un instante, el solsticio de verano 24 horas, y la salida y puesta del Sol puede ocurrir en un intervalo de 180º

En definitiva, todas las circunstancias relativas al movimiento aparente del Sol en cualquier fecha y desde cualquier latitud quedan reflejadas de una manera directa y visual en este tipo de reloj que va mucho más allá de su función habitual, y una vez construido proporciona un potente recurso didáctico, realizado en maquetas, o como elemento fijo en el exterior.

Lo tienes fácil para hacer un reloj de éstos

Si no tienes a mano ningún cilindro adecuado, o te parece complicado el cálculo de las líneas, puedes construir un reloj de este tipo con un recortable, donde ya están trazadas todas ellas. Puedes elegir entre hora solar verdadera, corregir la longitud u hora oficial, seleccionando y colocando la plantilla adecuada.

El material para la elaboración del recortable puede obtenerse en http://www.aulaastronomia.es/ECUAT%20CILINDRICO.pdf

Se aconseja imprimirlo en cartulina y pegar las piezas poco a poco utilizando pegamento de contacto.

Protagonistas

Para acabar, un agradecimiento a mi alumnado que construyó los dos relojes cilíndricos en el patio del IES Angela Figuera de Sestao. Durante el proceso fuimos aprendiendo juntos muchas de las cosas que aparecen en este artículo, que va dedicado a ellas y ellos.