Midiendo la Luna después de la Tierra

Con el comienzo de un nuevo curso, y coincidiendo con el día que se cumplen 3 años desde que abrí este blog que he intentado darle una orientación didáctica, publico este post que recoge un par de actividades que se pueden hacer en clase con alumnado. Pero también las puedes hacer tú solo-a y comprobar que son muy gratificantes porque permiten obtener unas medidas que posiblemente habrías  pensado que estaban fuera de tu alcance: nada menos que el cálculo del tamaño de nuestro planeta y de su satélite. Te lo cuento:

Lo de medir la Tierra lo incluyo porque os lo debo. Y lo de la Luna porque recientemente, la noche del eclipse,  se produjeron las circunstancias adecuadas para que tú misma-o pudieras tomar los datos para hacerlo y desde este blog te sugerí que lo hicieras. Las dos cosas a la vez porque son actividades consecutivas y el resultado de la primera se necesita para hacer la segunda.

Empezando por la Tierra

Hace un año dediqué un post a explicar algunos métodos para medir la Tierra basados en el original, ideado por Eratóstenes de Alejandría hace unos 2300 años, con algunas variantes, utilizando también las sombras, que podemos seguir fácilmente nosotros para obtener esa medida. Es una idea muy bonita, didáctica y nada complicada. 

Si no leíste aquel artículo, te sugiero que lo hagas a partir del link que aparece arriba, antes de continuar con éste.

Acababa aquel entonces diciendo que pondría los detalles y resultados obtenidos en una experiencia concreta que se iba a realizar en Bilbao, con motivo de los Encuentros Interfronterizos que reuniría a aficionados a la astronomía de ambos lados de los Pirineos.

Como suele ocurrir frecuentemente en estos casos, la meteorología no fue adecuada y la experiencia se limitó a una explicación teórica pero sin obtención de resultados.

Pero sí lo ha podido llevar a cabo recientemente un grupo de alumnado del Instituto Bertendona de Bilbao, dirigidos por su profesora Maite.  Alumnado de 1º de bachillerato (alrededor de 17 años de edad) dividido en varios grupos, cada uno realizó la experiencia y los cálculos independientemente de los demás.

En esencia el método consiste en algo muy parecido a lo que hizo Eratóstenes, pero en vez de esperar para medir una sombra al momento exacto en fecha y hora en que sabía que en un lugar concreto no la había, nosotros en cualquier momento que tengamos sol, averiguaremos en qué lugar del mundo no hay sombra por estar el Sol en el cénit y entonces mismo realizamos nuestra medición.

Lo cierto es que este método se me ocurrió hace ya varios años después de tener dificultades con los otros a causa de la meteorología el día acordado con los colaboradores necesarios en los otros métodos y necesariamente a mediodía, y que en éste se soslayan totalmente.

Eratóstenes midió la longitud de un meridiano y nosotros mediremos la de un círculo máximo (el que pasa por donde estamos nosotros y por el lugar en que no hay sombra).  Supuesta la Tierra una esfera, ambos miden lo mismo.

Un círculo máximo tiene su centro en el centro de la esfera, mide lo mismo que un meridiano o que el ecuador (soslayando el mínimo achatamiento de la Tierra), y por dos puntos cualesquiera de nuestro planeta pasa un círculo máximo.
En nuestro caso esos dos puntos serán nuestra posición y el lugar que tenga el Sol en el cenit.

Así podemos hacer la experiencia cualquier día y  ¡¡ a cualquier hora en que haga sol !! , sin tener que esperar al mediodía como ocurre en el resto de los métodos.

Con el globo terráqueo colocado paralelo (o Tierra paralela),  averiguaron cuál era el lugar de la Tierra en que el Sol estaba en ese momento en el cenit (punto subsolar)

Por si no has pinchado el link anterior, te resumo: Despojado de su soporte y situado sobre una base cilíndrica hay que colocar un globo terráqueo con la localidad donde tu estás en el lugar más alto, y orientar el meridano de tu localidad en dirección Norte-Sur. Así el globo queda paralelo a la Tierra real y la iluminación que recibe es la misma. 

Es importante decir que, mientras para la mayoría de las utilidades de la Tierra paralela es suficiente una colocación aproximada del globo terráqueo, y a veces se usan globos hinchables que no son totalmente esféricos, en éste caso esos no sirven y hay que extremar la exactitud de su posición porque queremos obtener resultados numéricos, y una mínima desviación puede dar lugar a errores apreciables en la determinación del punto subsolar. 

Por ello hay que tener en cuenta dos circunstancias:

1- Puede parecer que hemos colocado nuestra localidad arriba, pero deberemos comprobarlo, por ejemplo situando sobre ella un tornillo de cabeza plana y tamaño suficientemente grande, y mediante dos visuales aproximadamente perpendiculares lo alinearemos con elementos verticales como paredes de edificios o farolas y corregiremos la posición del globo con cuidado. 

Prácticamente siempre hay que realizar esta corrección si queremos obtener resultados adecuados.

El tornillo está vertical: alineado con una pared (izquierda) o con un poste de una valla (derecha)

2- Para averiguar lo más exactamente posible donde tienen el Sol en el cenit (punto subsolar), desplazaremos un tornillo de cabeza plana y suficientemente grande (nos puede servir el de antes) por el globo terráqueo hasta encontrar el sitio donde no da sombra.

Con el objeto de evitar la sombra de nuestros dedos, insertaremos el tornillo en una tira de papel que agarraremos y desplazaremos deslizándolo (como en el siguiente gráfico (figura de la derecha). Es importante utilizar un tornillo con amplia base que deslice sobre el globo, porque un simple gnonom pegado al mismo puede que no quede totalmente perpendicular a la superficie y nos proporcione un punto subsolar erróneo.

Colocando el globo terráqueo y averiguando dónde no hay sombra.

Una vez realizado este proceso hay que comprobar que nuestro meridiano en el globo está correctamente orientado Norte-Sur, y si hubiera que corregir esta orientación repetiríamos todo el proceso anterior.

Por supuesto, si no nos importa la exactitud del resultado sino solo entender el método, no es necesaria tanta precisión en la colocación del globo y determinación del punto subsolar. Depende de los objetivos didácticos que se persigan, tal como se explica en el anexo.

Casi simultáneamente, medimos la sombra de un listón vertical en el lugar en que nos encontremos, y calculamos el ángulo de la altura del Sol, tal como hizo Eratóstenes:

Midiendo el listón y su sombra

Aquí recojo los resultados de uno de los grupos de alumnado de Maite, el primero que entregó el informe. No el más exacto (de hecho casi todos los demás obtuvieron una mayor precisión), pero ante todo hay que decir que es un método aproximado cuyo objetivo es motivar y aprender, más que obtener el valor exacto.

Respecto a ésto yo siempre que lo he realizado el error ha sido menor de un 5%, lo cual puede considerarse muy bueno teniendo en cuenta las herramientas y el propio método. Los chicos-as del instituto Bertendona obtuvieron todos-as un error incluso menor.  

El lugar que tenía el Sol en el cenit estaba junto a Indore en la India,  y por medio de un programa informático, se averiguó luego en el aula que la distancia a dicho lugar es de 7418 km

Medida de listón 75 cm. Medida de la sombra 173 cm

Arc tg 173/75 = Arc tg 2.3 = 66.5º    Ese ángulo alfa es el mismo que el que forman las verticales en Bilbao e Indore, cuyo vértice está en el centro de la Tierra.

Como el círculo completo son 360º y esos 66.5º cubren una distancia d= 7418 km , el círculo completo medirá L= 7418 . 360º / 66.5º  = 40158 km.
Con lo que el radio, dividiendo entre 2 PI, saldría 6391 km, valor muy cercano al real.

Ahora la Luna

También en el caso de nuestro satélite mi propuesta es seguir ideas que históricamente se utilizaron para medirlo (Aristarco de Samos en el siglo III A.C. ), aunque en este caso se utilizará la fotografía, que evidentemente no estaba en las manos del sabio griego y nos permitirá solucionar algunos inconvenientes importantes con los que él se encontró.

De hecho el método de Aristarco en principio parece correcto pero tiene algunas pegas, como el suponer que la sombra de la Tierra es cilíndrica (al menos tal como se narra en muchas publicaciones), que no afecta excesivamente al resultado porque solo se trataba de una estimación, y como tal es válido,  pero hay que señalarlo en una explicación didáctica.

En el anexo lo explico, junto con otros aspectos que condicionan la exactitud del método.

La idea, tomada de Aristarco, es utilizar un eclipse de Luna. Recientemente ha habido uno, el 27 de julio, y por eso he escrito esta historia ahora.

Eclipse del 27-7-18 al final de la totalidad. Para tomar los datos hay que hacerlo antes o después de esta fase, durante el eclipse parcial.

En el eclipse lunar nuestro satélite pasa por el cono de sombra de la Tierra. Si durante la fase parcial del eclipse comparamos el tamaño de la Luna con el de la sombra de la Tierra, que deducimos del arco de circunferencia que se aprecia en la superficie de la Luna, a partir del tamaño de la Tierra que ya tenemos calculada, se puede calcular el de la Luna.

Parece ser que Aristarco lo hizo utilizando los tiempos en que la Luna tardaba en entrar totalmente en la sombra de la Tierra y lo que tardaba en atravesar toda la sombra. En el anexo lo explico. Pero este método no es válido en cualquier eclipse porque cambia mucho de unos a otros, y yo propongo utilizar una fotografía que siempre servirá.

A partir del arco de la sombra de la Tierra en la foto se puede completar la circunferencia entera por métodos de dibujo técnico usando un compás, como se representa en el siguiente gráfico: A partir de 3 puntos siempre se puede dibujar la circunferencia, tomando las mediatrices de dos segmentos determinados por esos (en el gráfico marcados en azul). El punto de corte de dichos segmentos es el centro de la circunferencia.

Si no tienes soltura en trazar estas líneas, puedes hacerlo como lo hacían mis alumnos que no se esmeraban mucho: dibujar y recortar varios círculos de papel de varios tamaños, probar cual se ajusta mejor al borde de la sombra terrestre, y ya está.

La imagen que he puesto corresponde a un eclipse del 29-11-1993 de madrugada, el primer año que hice el ejercicio con mi alumnado, y que algunos de ellos estuvieron en la observación. En este gráfico se mide y calcula la proporción del tamaño de los dos círculos (el de la luna y el de la sombra de la Tierra). Aunque te invito a que que tú mismo lo averigues en esta imagen o mejor en alguna tomada del último eclipse, pongo mis resultados: A mí me sale 10,4 y 4,1 cm con la ampliación que me da el tamaño de la imagen. Divido: 10.4/4.1=2.54

Esta sería la proporción entre el tamaño de la Tierra (ya calculado) y el de la Luna, suponiendo que la sombra de nuestro planeta mantuviera el tamaño de éste (fuese un cilindro). Lógicamente no es así porque la luz que produce esa sombra (en Sol) es mucho más grande (y por ello es un cono) ¡Pero también está muy lejos! ¿es un cono muy puntiagudo o no?

Hay una manera de saber aproximadamente en cuanto se reduce esa sombra de la Tierra a la distancia de la Luna, que se deduce del hecho de que vista la Luna desde aquí tiene un tamaño angular igual al Sol, o que en un eclipse solar el cono de sombra de la Luna prácticamente tiene su vértice en la superficie terrestre. A veces un poco más o un poco menos y por eso hay eclipses anulares y totales. 
En el siguiente gráfico se ilustra:

Como el Sol está mucho más lejos que la Tierra (y que la Luna) las líneas que delimitan los conos de sombra (en el gráfico, L) de ambos astros son casi paralelas, y por ello la reducción del diámetro de la sombra de la Tierra cuando hay un eclipse es el doble del radio lunar (2 r) como se puede apreciar en la figura.

Representando las situaciones de un eclipse de Sol y otro de Luna se deduce que en éste último el cono de sombra terrestre se ha reducido un diámetro lunar (2r)

Siguiendo con mis cálculos, a esa escala la Tierra tendría un diámetro de 10.4+4.1=14.5   y 14.5/4.1 =3.54. 
La Tierra es 3.54 veces más grande que la Luna, y tomando el valor del radio terrestre calculado antes (6391 km) sale un radio lunar de 6391/3.54 = 1805 km. El valor verdadero es de1737 km  por lo que el error es menor de un 5%.

De todas formas, como voy a explicar en el anexo, incluso haciendo todo el método de manera exacta puede haber un error mayor.

Si quieres hacer todo el proceso por ti mismo, o con tu alumnado y no tomaste imágenes del último eclipse, no te preocupes: La Tierra la podéis medir en cualquier momento que salga el Sol, y el próximo 21 de enero hay otro eclipse de Luna visible en toda Europa, América y Africa.

En este anexo, recojo dos opiniones personales sobre las dificultades de realizar estos experimentos si el objetivo es obtener un resultado preciso, y la importancia o no de esta cuestión. 

1- Errores y valor didáctico

Cuando se plantean estas experiencias didácticas siempre hay alguien que dice que si queremos saber cuánto mide la Tierra y la Luna lo podemos mirar en un momento en internet y nos ahorramos el trabajo. O una vez acabado el cálculo critica el que el resultado no sea exacto. 

Evidentemente el objetivo no es obtener un resultado, sino aprender el método, conseguir llevarlo a cabo, motivar e incluso, si el valor obtenido es muy incorrecto, analizar qué hemos hecho mal y solucionarlo, porque se aprende mucho más de los errores.

Por otra parte hay que señalar que estos métodos no tienen por qué ser exactos aunque hagamos correctamente las operaciones matemáticas, y muchas veces el propio método lleva implícito un posible error que no se puede evitar

En el caso de la Tierra, el colocar el globo terráqueo perfectamente paralelo a nuestro planeta, determinar el punto subsolar exacto, horizontalidad del suelo y verticalidad de nuestro listón, determinar dónde acaba exactamente la sombra del listón, son circunstancias que pueden modificar levemente el resultado. A veces se compensan los errores y a veces se suman.  

Yo siempre me sorprendo de que con estos métodos (de andar por casa) los resultados sean habitualmente tan buenos. Desde luego, la satisfacción de quienes los realizan es evidente.

Otra crítica que a veces se hace en este tema es el método de cálculo de la distancia al lugar en que no hay sombra: "Que si es artificial hacerlo utilizando las nuevas tecnologías que en realidad están usando el valor conocido del tamaño de la Tierra" ... Esto no me parece importante porque es solo un dato de un proceso, que podría obtenerse de otras maneras. Exactamente lo mismo que hizo Eratóstenes: no lo calculó él mismo, sino que pidió la información. Según la versión que se da en la serie Cosmos, contrató a una persona para que se lo midiera. Lo mismo podríamos hacer nosotros. Si esa "persona" se llama "Google maps" no tiene importancia. Lo importante es el método del proceso completo.

En el caso de la Luna hay otras circunstancias que inevitablemente aportarán un error aunque todo se haga de manera perfecta. Concretamente el factor más determinante es la distancia a la que se encuentre la Luna en el momento del eclipse. Debido al movimiento en su órbita nuestro satélite puede estar hasta un 7% más lejos o más cerca de la media. Es la circunstancia de la que tanto se habla con las “superlunas”.

Además la determinación exacta del borde de la sombra y el completar la circunferencia que se ajusta a ella no es fácil hacerlo con precisión.

2- Como se cuentan las cosas

Otro asunto es lo relativo a los relatos sobre las experiencias iniciales, en este caso de Eratóstenes o Aristarco. Se pueden encontrar diferentes versiones incompatibles con resultados ambos correctos, y a veces se intenta maquillar el resultado inventándose a posteriori los números para que todo salga extraordinariamente exacto, aunque lo más probable es que no fuera así.

Como ya he repetido, lo importante no es la exactitud del resultado sino el método en sí, y en todo caso la obtención de un valor aproximado en orden de magnitud.

A pesar de que no tiene la menor importancia, no me resisto a poner algún ejemplo de lo que se cuenta y cómo se cuenta:

En el caso de Eratóstenes, casi siempre se dice que obtuvo un resultado prácticamente exacto del tamaño de la Tierra. Si fue así, y teniendo en cuenta el método empleado, sería una tremenda casualidad que no aporta ningún mérito adicional. 
De hecho hay una versión que lo contradice: Según ella, para hacer el cálculo utilizó los estadios, que eran las medidas de longitud de la época. Pero resulta que se manejaban distintos tipos de estadios según la zona o país. Con uno de ellos el resultado pasado a kilómetros es casi exacto, pero parece que no eran esos los estadios que se utilizaban en el lugar y época en que Eratóstenes vivió.

En el cálculo del tamaño de la Luna por Aristarco, en el primer lugar que yo lo leí, se suponía que la sombra de la Tierra era casi cilíndrica y se medían los tiempos en que la Luna pasaba de la posición 1 a la 2 y de la 1 a la 3.

El punto 1 es cuando comienza el eclipse parcial, el 2 cuando comienza el total y el 3 cuando acaba el total.

El paso de 1 a 2 es proporcional al tamaño de la Luna y de 1 a 3 al tamaño de la Tierra

No es problema el aproximar la sombra por un cilindro, que didácticamente no es importante para entender el método, pero sí que se den unas medidas muy diferentes de las reales.

En esa publicación se dice que “Aristarco comprobó que la Luna tardaba 4 veces más en pasar de 1 a 3 que de 1 a 2, con lo que aproximadamente su tamaño es la cuarta parte”

La conclusión sabemos que es cierta (no es muy diferente 4 o el valor real 3.7) pero en ningún eclipse tardará más de 2.7 veces más de 1 a 3.  Se cambian los números para compensar el error en el diseño.

En otros casos se hace un  planteamiento correcto con los conos de sombra pero se habla de que Aristarco tomó los tiempos  “en un eclipse” sin más. Pero los datos van a ser muy diferentes según el eclipse que se tome. 
Debería ser un eclipse en que la Luna atravesara el cono de sombra de plano (como el de julio de 1953)  y no casi rasante (como el próximo de enero de 2019).  Los tiempos son muy diferentes y sería mucha casualidad que hubiera tomado precisamente un eclipse adecuado, que es probable que en toda su vida no ocurriera ninguno.

En el caso A) la relación de tiempos (paso de 1 a 3 respecto al paso de 1 a 2) es de 2.7 y en el B) es de 1.9

De todas formas también es posible que tanto Eratóstenes como Aristarco obtuvieran los resultados exactos, pero no es probable, ni es importante en absoluto. Lo realmente importante es que se plantearon la posibilidad de obtener esas medidas, que idearon unos métodos para calcularlas y aproximadamente obtuvieron el orden de esos tamaños, lo que supuso un gran avance en el conocimiento de la época.