Un reloj solar interactivo (2)

Este artículo es continuación del anterior, que puedes leer aquí. 
Debo advertir que el contenido de éste es bastante técnico, no es imprescindible para elaborar el reloj, y si te aburre puedes dejarlo y esperar al siguiente que seguro será más asequible.

El reloj analemático es muy motivador porque no sirve con mirarlo, sino que hay que actuar. Pero puede perder ese valor si en su trazado se sigue la corriente clásica de indicar hora solar verdadera. Actualmente esa no es la hora oficial, la diferencia puede ser apreciable, tal como expliqué en “La hora de los relojes de sol” , y el público en general no la conoce. Quien use un reloj solar con hora verdadera se sentirá defraudado porque pensará que va mal, y especialmente si ha intervenido en su funcionamiento, como en este caso.

Ya se vio en el mencionado post que es posible el cálculo de la hora oficial a partir de lo que indica un reloj solar, pero que no es tan directo como suele pensarse, y son necesarias 3 correcciones.

Pero esto puede solucionarse modificando el trazado del reloj para que nos proporcione directamente la hora que marca nuestro “móvil”. En el caso del analemático esto es mucho más fácil que en otros tipos de reloj solar, tal como se explica a continuación.

Reloj analemático que indica la hora oficial en la ikastola Alkartu

Modificación de la colocación de las indicaciones horarias según la longitud geográfica

Mi propuesta es corregir la diferencia entre los dos horarios teniendo en cuenta la longitud geográfica del lugar, e incluso colocando simultáneamente la hora de invierno y la de verano.

Aunque en otro tipo de relojes no suelo hacerlo para seguir la línea clásica, en este sí por lo indicado antes.

Para ello en la circunferencia inicial en la que se hacían trazos cada 15º, solo hay que girar cada uno de esos trazos un ángulo igual a la longitud, en sentido horario si es longitud Este y antihorario si es longitud Oeste (En el hemisferio sur al revés)

En el siguiente gráfico se indica el trazado para un lugar de longitud 3º Oeste (y latitud Norte).

Cambio en la númeración de las horas

Se sustituirían las horas en horario solar verdadero que aparecen en todos los relojes de sol clásicos por la hora media próxima a la oficial, incluyendo los horarios de invierno y verano en diferente color. Por ejemplo en España la hora más próxima al mediodía (al punto en que aparecían las 12 hora solar verdadera) se indicará con un 13 (válido para el horario de invierno) y un 14 (para el h. de verano)

Hora oficial, con horario de Verano y de Invierno en un reloj situado en la longitud 3º W

Aunque algunos puristas están en contra de este cambio, mi opinión es que independientemente de que los relojes de sol clásicos deban conservar sus características, los que elaboremos ahora con fines didácticos o como elemento lúdico-científico deben indicar hora oficial porque siempre lo hicieron, ya que en épocas en que se utilizaban los relojes solares para conocer la hora al no disponer de otros recursos, la hora oficial era la hora solar verdadera en cada localidad.

Esta modificación y la anterior hay que hacerlas conjuntamente o no hacer ninguna de las dos.
Con ellas, la diferencia máxima con la hora oficial será 16 minutos (esto ocurrirá a finales de octubre y primeros de noviembre) debido a la ecuación del tiempo.
De todas formas, teniendo en cuenta que la sombra de una persona no es una línea recta y definida, esta diferencia es asumible porque no es evidente.
¿Quieres mayor exactitud? Sigue leyendo.

Nota: en algunos dispositivos hay problemas al visualizar las letras griegas que aparecen en las fórmulas representando ángulos. Mientras intento solucionarlo, debo indicar que puede aparecer una a en lugar de "alfa", una d en vez de "delta" y una f  o una j en lugar de "fi"

Corrección de la ecuación del tiempo

Este reloj permite también corregir la ecuación del tiempo y aproximarse aún más a la hora oficial. Aunque, como veremos, no la corrige totalmente porque el artificio que voy a explicar solo funciona con exactitud al mediodía. Por tanto ésta es una opción que hay que valorar.

La idea es que si un determinado día el reloj solar atrasa por efecto de la ecuación del tiempo, la persona que proporciona la sombra se sitúe adelantada (hacia su derecha si es hemisferio norte  o su izquierda en h. sur) para compensar ese retraso, y al revés en caso contrario. De esta manera se sustituiría el segmento que recoge las fechas donde debe colocarse dicha persona, por una figura en forma de 8 que corresponde a una figura geométrica llamada lemniscata y que en este caso suele recibir el nombre de analema:

Corrección de la ecuación del tiempo con el analema (en la zona central)

Para trazar el analema se toma como unidad horaria la distancia en horizontal entre las 12 y las 13 (hora solar verdadera, o entre las 13 y 14 en este modelo), dividiéndola entre 60 y multiplicada por los minutos de la ecuación del tiempo en una fecha concreta se obtiene la distancia que debe moverse a derecha o izquierda.

Por ejemplo si el eje mayor de la elipse son 4 metros, como se proponía en el anterior artículo, la distancia de 12 a 13 es de 52 cm (se puede medir en el gráfico o calcular por trigonometría: 2 x sen 15º ).
A cada minuto corresponderá 52 cm / 60 = 0.87 cm que se multiplicará por los minutos de la ecuación del tiempo.

Se obtiene la siguiente tabla, cuyos valores llevados a la línea de las fechas (en el eje menor de la elipse) permite dibujar una serie de puntos que al unirlos completarán el analema

Los valores de “x” en la siguiente tabla son válidos para cualquier latitud, con una elipse de semieje mayor a=2 metros. Pero el valor de la coordenada “y” de una fecha concreta depende de la latitud, obteniéndose lógicamente los números dados en el artículo anterior: Si en esa fecha el Sol tiene una declinación d ,  y=c . tan (d).
Donde c es la distancia del centro de la elipse al foco (ver artículo anterior) y toma el valor c= a . cos j,  siendo j la latitud del lugar, ya que

Valores (en centímetros) para obtener el analema con una elipse de 2 metros de semieje mayor, en una latitud de 40º.

El origen de coordenadas se sitúa en el centro de la elipse.

Estos puntos se representan (imagen central del siguiente gráfico) y se unen para completar la figura (imagen derecha)

A la izquierda el las fechas donde situarse, tal como se proponía en el artículo anterior. 

En el centro los puntos de referencia para trazar el analema obtenidos de la tabla. En rojo el comienzo de cada mes y en verde los solsticios y equinoccios. Están detalladas las coordenadas x de dos de los puntos.

A la derecha el analema completo

Pero aunque en muchos relojes de este tipo se utiliza el analema (incluso parece que su nombre procedería de él), tal como he dicho antes solo es exacto a mediodía.

En ese momento la corrección es la adecuada, porque la sombra está dirigida al norte y su avance es casi perpendicular a la dirección del 12 al 13. Por ejemplo el día 1 de Agosto para compensar el retraso en algo más de 6 minutos de la hora solar respecto a la hora media movemos el gnomon desde la posición 1 de la meridiana hacia el Este (hacia la derecha en el gráfico)  el equivalente a esos 6 minutos (la décima parte de la separación entre las 12 y las 13) hasta la posición 2,  la sombra llegará  6 minutos antes a las 14h, o a las 15h, que si estuviese el gnomon en la meridiana

Pero el resto de horas al proyectarse la sombras con un determinado ángulo, el desplazamiento en sentido Este-Oeste del gnomon  no se corresponderá con el intervalo de 6 minutos. Por ejemplo en la situación B del siguiente gráfico las dos sombras próximas a las 16h están separadas por menos de 6 minutos.

Cuando las sombras se dirijan al Este o al Oeste el analema no tiene ningún efecto ya que tanto 1 como 2 indicarían la misma hora (están solapadas)

Además hay otros momentos en que se consigue incluso el efecto contrario al deseado. Por ejemplo en el caso D la sombra tiene una componente hacia el sur, con lo que si colocamos el gnomon en el lugar 2 corregido por la lemniscata llegará al punto horario después que si lo colocásemos en la meridiana 1 y no antes, con lo que acentuaremos el efecto de la ecuación del tiempo en vez de corregirlo.

Entonces si queremos ser rigurosos deberíamos quitar la lemniscata (que pena, pues es muy estética y ayuda a poner el calendario).

Pero hay varias circunstancias que pueden justificar el trazarlo: Estética, Didáctica, evitar el error frecuente del otro al situarse fuera de la línea, en el hemisferio Norte no tiene errores muy grandes.

Otras opciones para las fechas

Se pueden conjugar distintos criterios para situar las fechas y el lugar en que hay que colocarse.

A- El más sencillo de trazar, con las referencias zodiacales, propuesto en el artículo anterior

B- Similar, con los meses naturales

C- Cada mes en un rectángulo. Es vistoso, pero puede plantear algún problema.
D- Analema
E- Mezcla del C y el D

Es muy frecuente el C. Queda estético, muy visible e incluso se le puede buscar una aplicación lúdica con el juego del truquemé. Pero tiene un problema si no se explica su utilización correcta: No hay que colocarse en el centro del cuadro del mes, como instintivamente suele hacerse, sino siempre en la línea central.

Para no perder el carácter vistoso e incluso lúdico, y darle exactitud, puede optarse por el último ejemplo (E), donde se combinan los rectángulos mensuales con el analema. El mes de abril aparece partido porque en ese momento la curva del analema cruza la meridiana. Así se hizo en uno de los últimos que he diseñado, en la ikastola Alkartu.

Indicaciones para situarse, según la fecha, en el reloj de la ikastola Alkartu. Los nombres de los meses están en euskera

Los tramos de color rojo y azul del analema corresponden a los periodos de utilización del horario de verano o invierno. De esta manera tenemos una indicación de qué hora es válida si hemos pintado estas horas de los mismos colores: Por ejemplo si estamos en septiembre (Iraila) al colocarnos en ese mes vemos que la línea del analema es roja y eso nos dice que son válidos los números horarios enmarcados en rojo.

A pesar de las bondades del reloj analemático, a quien conoce algo de estos temas suele extrañarle porque incumple claramente la norma básica de los relojes solares: “La varilla (el gnomon) debe estar inclinada, paralela al eje terrestre” (“la varilla torcida”), y aquí precisamente es vertical.

En realidad esto se compensa porque esa varilla cambia de lugar según la fecha. Para entenderlo y justificar teóricamente el trazado hay que partir del reloj solar más sencillo, el ecuatorial, que permite deducir otros tipos de relojes, entre ellos éste.

El reloj ecuatorial:

En el reloj solar ecuatorial el plano sobre el que se proyecta la sombra y en el que se trazan las líneas y las marcas horarias se sitúa paralelo al ecuador. De ahí su nombre

Como el gnomon tiene que estar siempre paralelo al eje terrestre, en este caso quedará precisamente perpendicular al mencionado plano.

Debido a ello las líneas horarias serán equidistantes y estarán separadas entre sí 15º (porque 360º / 24 horas = 15º cada hora)

Reloj solar ecuatorial en Durango (Bizkaia). El plano de madera, paralelo al ecuador. En otoño e invierno la sombra dará por la parte inferior.

Es fácil de imaginar este reloj colocado en el polo: en este caso el gnomon es vertical porque así está el eje terrestre en ese lugar. Perpendicular al suelo.
El Sol se mueve paralelo al horizonte de manera uniforme y la sombra del gnomon va girando también uniformemente, con lo que cada hora las sombras girarán 15º.

Como el Sol está muy lejos, si se traslada el reloj de manera paralela, seguirá funcionando.

Reloj ecuatorial en el polo y en otros lugares colocados paralelos al primero en un globo terráqueo

Y al trasladarlo paralelamente da lugar, en cada sitio, al reloj ecuatorial descrito, el funcionamiento será el mismo y el gnomon queda con un ángulo respecto a la horizontal igual a la latitud.

El reloj analemático a partir del ecuatorial:

Pero volviendo a nuestro reloj analemático ¿Por qué funciona, si incumple la norma principal de los relojes de sol?

 ¿Por qué los puntos indicativos de las horas deben estar colocados en una elipse de determinadas proporciones, y precisamente en esos lugares? ¿Por qué el gnomon hay que colocarlo precisamente ahí en cada fecha? 

Las explicaciones exigen una justificación teórica y formulación que no son triviales. No es necesario que el usuario las conozca. Pero puede ser interesante si se quiere profundizar en las razones del trazado.

Las respuestas están, como casi siempre en el reloj solar ecuatorial.

Efectivamente, se parte de un reloj ecuatorial y se considera el plano horizontal que pasa por su centro. Ese plano es el suelo sobre el que trazamos el analemático, y sobre él, mediante proyecciones verticales, se van trasladando los distintos elementos.

En primer plano un reloj ecuatorial, y al fondo el analemático a partir del ecuatorial e incrustado en él. En primer término se aprecian las líneas de calendario con forma circular.

Veamos, por un lado, que efectivamente los elementos de nuestro reloj trazados por el método gráfico coinciden con la proyección del reloj ecuatorial, y comprobaremos también la corrección de su funcionamiento.

La elipse

En el plano del ecuatorial se traza una circunferencia de radio a y centro el punto en que el gnomon corta a dicho plano. La proyección vertical de este círculo es nuestra elipse, ya que la longitud de su eje mayor será a y del menor  b = a . sin f , tal como puede apreciarse en el siguiente gráfico, donde f es la latitud, y que es la misma expresión que se puede deducir en el triángulo de lados a, b, c del método de construcción gráfico que apareció en el anterior artículo.     

Así mismo, cada marca horaria en la elipse es la proyección vertical de la marca horaria en el ecuatorial colocada en la mencionada circunferencia, lo que explica la colocación de los puntos horarios en el método de trazado gráfico comenzando con una circunferencia y trazando paralelas.

El gnomon

En el ecuatorial en cada fecha es la sombra de un único punto P del gnomon la que recorre la circunferencia de radio a.    

 La proyección vertical Q de ese punto P sobre el suelo es el punto sobre el que debe colocarse el gnomon vertical en esa fecha. Efectivamente: la distancia z del centro de la elipse al punto Q según se deduce de este gráfico sería      z = x cos f = a . tg d cos f

Y si lo calculamos por el método de construcción geométrico   z = c . tg d  o tal como se dedujo antes, queda      z = a. cos f . tg d , que es el mismo resultado que antes.

La hora

En el reloj ecuatorial, en cada fecha el extremo de la sombra recorre un círculo diferente. Fijando un círculo concreto, en cada fecha será un punto diferente del gnomon (A) el que recorrerá ese círculo. El cuerpo La persona que usa el analemático debe pasar por ese punto A del gnomon (por eso sus pies deben colocarse en el lugar B adecuado según la fecha) El mencionado círculo es el que se tomaría para formar la elipse del analemático.

Por todo ello: en cada hora de esa fecha las sombras del gnomon del ecuatorial y de la persona se cruzan en el punto horario del ecuatorial (P), porque en ese punto incide la sombra de A. Como la sombra de la persona es vertical y la indicación horaria en el analemático también es vertical, la sombra de la persona pasará por la indicación horaria  (Q) en el analemático.

Junto al reloj ecuatorial al fondo, aparece en primer plano una maqueta del analemático integrado en otro ecuatorial del que se deduce. En él se ha representado en color verde la sombra del gnomon del ecuatorial y en marrón la de la persona que utiliza el analemático.

Deducción de las coordenadas de los puntos horarios.

Otro método alternativo al trazado de los puntos horarios a partir de una circunferencia, es el cálculo de sus coordenadas y con sus valores numéricos tomar medidas y situarlos.

Puede resultar más rápido, aunque un tanto artificial, ya que normalmente quien hace el trazado no ha realizado el engorroso cálculo numérico y no sabe cómo o de dónde han salido esas coordenadas. Pero es una buena solución para obtener el reloj si no queremos meternos en ningún tipo de tecnicismos.
Una vez trazada la meridiana y su perpendicular únicamente deberemos ir midiendo con un metro (o mejor dos simultáneamente) las coordenadas x e y de los puntos horarios, referidas a los ejes: Este-Oeste y Norte-Sur (meridiana). Pongo aquí el proceso teórico pero en la práctica se pueden utilizar únicamente los resultados numéricos.

Calcularemos primero todas las coordenadas cartesianas “x” a partir del ángulo a:

-Si queremos utilizar hora solar verdadera empezaremos por a = -30 para las 20h(hora solar verdadera), y cada 15º se obtienen -15º, 0º, 15º, 30º,45º ……180º, 195º y a = 210º para las 4h. (tomando los ángulos en los cuadrantes convencionales: 0º en el eje x hacia la derecha)

- Si se quiere corregir la longitud geográfica según mi propuesta (por ejemplo para una longitud 5ºW) los ángulos serían a=-25º (-30º+5º) para las 22h en horario de verano , -10º, 5º, 20º, 35º …. 215º

x= a. cos a

                

El valor de x en los puntos horarios en la elipse son estos mismos, porque se trazan a partir de ellos mediante paralelas al eje Y.   

La segunda coordenada se puede obtener a partir de la ecuación de la elipse:  x² /a² + y²/b² =1
Por lo tanto,  

Como ejemplo, por si quieres comprobar tu proceso, se obtendrían los siguientes valores para un reloj situado en las coordenadas 40ºN 5ºW: (“x” e “y” en centímetros), a=200

Y si te da pereza ponerte a calcular, yo he elaborado un sencillo programa informático que lo hace todo. Me puedes pasar tus coordenadas (latitud y longitud) a esteban.penalba@gmail.com y te envío los resultados.