Las leyes de Kepler, por los suelos.

Aunque quizás el título de este post podría parecer un menosprecio de las conocidas leyes que rigen los movimientos de los planetas,  en realidad es todo lo contrario.

Se trata de presentar una actividad didáctica, a mi modo de ver enormemente útil para visualizar y apreciar en su justa medida el significado y las consecuencias de las leyes descubiertas por el astrónomo alemán, y entender unas cuantas cuestiones relativas a las posiciones, movimientos, trayectorias de los planetas, y otros astros del Sistema Solar.

En principio se trata de dibujar en el suelo, a escala, y lo más exactamente posible, las órbitas de los 4 primeros planetas  y del cometa Encke, el de órbita más pequeña,  de manera que queden reflejadas gráficamente las consecuencias de las leyes de Kepler. Una vez dibujadas se dejan marcadas con cinta adhesiva de colores y posteriormente se podrán añadir otros elementos.

Aunque esta actividad se me ocurrió hace ya más de 25 años como una más a desarrollar con alumnado adolescente en mi instituto dentro de la asignatura optativa de Astronomía, y en aquel momento la titulé “Las leyes de Kepler en el suelo de la clase”, os invito a realizarla en cualquier otro suelo que tengáis por ahí cerca, para que el nuevo título “ … por los suelos” sea adecuado.  

Yo suelo decir que el simple enunciado de estas 3 leyes sin cuantificar sus consecuencias no suele ser muy adecuado: La primera suele dar pie a un tremendo error si no se ve el resultado real, y tanto la segunda como la tercera tienen unos enunciados a veces difíciles de interpretar o de calibrar en su verdadera medida.

No detallo aquí el proceso de elaboración para que no se haga demasiado pesada la lectura ahora, pero si te animas a llevar a cabo el trazado lo puedes encontrar en este enlace de la página de la Asociación para la Enseñanza de la Astronomía (ApEA) .      La 5ª referencia en la lista de actividades.

Ahí propongo realizar el trabajo a una escala en la que un centímetro equivalga a un millón de kilómetros, con lo que la conversión de unidades es inmediata tanto en su construcción como luego en su uso.  A esta escala se necesitaría una superficie de 5 metros de ancha, e incluso más larga si se quiere poner el cometa. Podía ser una sala, una terraza grande, un patio, o incluso una plaza.

Aunque si no se dispone  de ese suelo tan amplio, se puede hacer en un lugar más pequeño, reduciendo a la mitad o a la cuarta parte todas las medidas.

Tal como se explica en el trabajo, se dibujan y luego se repasan con cinta adhesiva de distinto color, determinadas circunstancias relativas a las leyes de Kepler.

 En la imagen la órbita de Mercurio: en color negro se ha trazado la órbita (primera ley), en rojo se ilustra la segunda (ley de las áreas)  y en amarillo (comparando con otros planetas) la tercera.

La otra línea que aparece, cruzando la órbita de Mercurio, es la del cometa Encke.

El incluir la órbita de un cometa tiene como finalidad apreciar las consecuencias de las dos primeras leyes en una órbita muy excéntrica, bastante diferentes de las que tienen en los planetas. Una vez realizado el trabajo se aprecian varias circunstancias relativas a cada una de las leyes, respectivamente:

a) Las órbitas de los planetas son casi circulares, mientras que la del cometa Encke es muy elíptica.

Una vez trazadas, además de que parecen totalmente redondas, como se ve en la imagen anterior, puede medirse con un metro la longitud del eje menor de la órbita elíptica, y asombrarse de lo similar que es respecto al eje mayor, a pesar de que los focos de la elipse (que se han utilizado en su trazado) estén separados.  Si no ves claro ésto, te recomiendo vivamente que leas el post “¿Tienes algo tan redondo como la órbita de la Tierra?"

Yo suelo decir que el enunciado de la primera ley ("Las órbitas son elípticas ...") es didácticamente pernicioso (en muchos casos el alumnado previamente tiene la idea correcta y al conocer esta ley la cambia por otra totalmente incorrecta), pero si se visualiza la situación real todo queda claro y en su justa medida. Y mucho más si además se ha participado en el trazado de las órbitas.

b) En el caso de la órbita más excéntrica entre los planetas  (la de Mercurio) se ve que el Sol está claramente lejos del centro, pero en los demás no mucho. Esto se plasma en que los recorridos de cada planeta en un mismo tiempo en las cercanías del perihelio y afelio (tramos rojos) son muy similares excepto en Mercurio, y por supuesto en el cometa Encke.

El dibujo de los dos triángulos de áreas iguales ayuda a entender el enunciado de la segunda ley ("Los radios vectores barren áreas iguales en tiempos iguales") y a visualizar su consecuencia. Solo propongo hacerlo con Mercurio y en los otros astros no completo el triángulo para no llenar todo el suelo de líneas, pero sí dibujo los tramos recorridos en afelio y perihelio.

La segunda ley, ilustrada en la órbita de cada planeta con dos tramos de color rojo

c) La velocidad lineal de cada planeta no es excesivamente diferente, mucho menos que la proporción entre los tamaños de las órbitas. Esto se aprecia en las longitudes de los tramos amarillos, que corresponden a los recorridos de los planetas en un mismo periodo de tiempo (se han tomado 30 días), y cuyas longitudes se han calculado por la fórmula de la 3ª ley.

El resultado de la poco intuitiva formulación de esta ley ("Los cubos de las distancias medias al Sol son proporcionales a los cuadrados de los periodos"), que relaciona cuadrados con cubos, queda plasmada más claramente en estos tramos amarillos.

Otras utilidades.

Si se colocan los planetas en su órbita en una fecha concreta (en el aula de Durango les solemos actualizar cada semana), se obtiene un recurso con el que sacar muchas conclusiones sobre todo las relativas a la posición o posible observación de estos planetas. Para ello previamente  hay que delimitar los recorridos de la Tierra en cada mes, que queda escrito en el suelo, colocar nuestro planeta y a partir de él los otros utilizando una tabla con las elongaciones (separación angular respecto al Sol, visto desde aquí), dos trozos de cuerda y un transportador de ángulos.

Esta tarea podría parecer innecesaria hoy en día en que el resultado puede obtenerse directamente de algún simulador informático. Pero el trabajar en la colocación y posteriores medidas directamente en el suelo es mucho más didáctica, útil y motivadora, además que el hecho de la manipulación obliga a entender mejor la situación.

Entre otras cosas, solemos realizar las siguientes tareas agachados en el suelo:

1- Medición de las distancias de la Tierra al Sol el día de hoy y en otras fechas, compararlas, apreciar la poca variación, y la circunstancia de que en el invierno en el hemisferio Norte estamos más cerca del Sol.

Con la escala propuesta, el cálculo de las distancias reales es inmediato.

2- Medición de las distancias, en la fecha actual, de la Tierra a cada planeta (y quizás sorprenderse, como conté en “Mercurio, el planeta más cercano a la Tierra”)

3- Apreciar que las distintas oposiciones del planeta Marte se pueden dar a distancias bastante diferentes unas de otras, que incluso pueden medirse con un metro, y ver en qué fechas podrían producirse la más cercana o la más lejana.

La órbita de Marte a pesar de su excentricidad parece también circular (y midiendo sus dos ejes se comprueba que casi, lo es), pero se ve muy bien que no es concéntrica con la de la Tierra.

4- Trabajar el concepto de elongación, tanto en la colocación por parte de quien haga esta tarea, o  posteriormente otras personas, midiéndola a partir de la posición de los astros.

Al realizar el proceso de situar el astro o medir luego su elongación se comprende mejor el concepto.

5- Relacionar esa posición con la posibilidad de ver hoy mismo los planetas interiores, en qué momentos, con qué facilidad, o las horas en que será visible Marte.

Ahora, a mediados de mayo de 2017, se ve que Venus y Mercurio son visibles antes de amanecer, mientras Marte lo sería al atardecer, pero ya muy cerca del Sol.  

En este caso se han colocado unas bolas sobre el punto en que está la marca de la posición de cada astro, para apreciarlo mejor en la foto. En la práctica solo ponemos pequeñas marcas adhesivas.

6- Apreciar la diferencia en amplitud de las máximas elongaciones de Mercurio, que dependen también de las fechas en que se produzcan.  Incluso pueden cuantificarse midiéndolas con dos cuerdas y un transportador  de ángulos, como en la imagen del apartado 4-

7- Trazar el recorrido realizado por algunas sondas espaciales.

En el Aula de Durango se ha dibujado la trayectoria de la sonda espacial Curiosity en su viaje desde la Tierra a Marte, que permite entender y sorprenderse de las aparentemente ilógicas trayectorias de los viajes a Marte y los motivos por lo que se hace así (Esto lo conté en “¿Te vienes de viaje a Marte?")

El recorrido de Curiosity, a trazos rojos

8- Se pueden incluso trazar parte de las órbitas de algunos cometas, en sus cercanía al Sol.

En el instituto de Sestao colocamos las órbitas de los cometas Hale-Boop y Hyakutake en tres dimensiones, de cartón, atravesando el espacio del aula, como recoge la siguiente imagen. Una de ellas era de quita y pon, pero la otra permaneció mucho tiempo, durante el acercamiento del espectacular cometa, e incluso íbamos actualizando su posición en la órbita.

En Durango está dibujada la proyección en la eclíptica del Swift-Tuttle, el origen de las  famosas estrellas fugaces de agosto,  las Perseidas.

La órbita del cometa Swift-Tuttle (línea verde) corta al plano de la eclíptica (el suelo del aula) en un punto muy cercano a la posición de la Tierra a mediados de agosto (“abuztua” en euskera).
El tramo por encima de la eclíptica se representa con línea continua y el que está por debajo a trazos.

9- A la escala propuesta se pueden representar tanto las distancias como los tamaños de los astros manteniendo las proporciones, lo que siempre supone un tremenda sorpresa al apreciar lo vacío que está el Sistema solar:  El Sol es una bola de 1.5 centímetros y la Tierra la punta de un alfiler situada a metro y medio de distancia.

Todo a una misma escala, en la imagen el Sol y la Tierra.

Los planetas gigantes (Júpiter sería la cabeza de un alfiler de 1.5 milímetros) quedan fuera del aula, en el patio, y la estrella más cercana, a 400 kilómetros.

10-, 11-,… Seguro que a alguien se le ocurren más.

Este trabajo queda en el suelo, sin molestar ni obstaculizar cualquier otro uso del lugar, como un recurso permanente que se puede utilizar posteriormente para ilustrar otras actividades. De vez en cuando hay que realizar algún pequeño parcheo con la cinta adhesiva, pero un vez que todo quedó calculado esto no cuesta nada.

Ya hay unos cuantos suelos, en varias aulas del Instituto de Sestao y otros centros, o en el Aula de Astronomía de Durango, donde han quedado las leyes de Kepler.

Como otras muchas veces, en este caso también he buscado alguna excusa para escribir sobre un tema concreto. Estos días he estado colaborando en el trazado de un reloj de Sol en el suelo del patio de un colegio de Barakaldo en el que Joseba, un compañero entusiasta e incansable ha recogido y plasmado, un montón de juegos de todo el  mundo.

Una de las zonas del patio de la ikastola Alkartu. Por el suelo de otras zonas del patio hay muchos más

Con su magnífico trabajo ha demostrado que cualquier suelo da para mucho (incluso para las cosas del cielo, añado yo), y que en general tenemos los suelos infrautilizados. En esta ocasión quiero dedicarle este post especialmente a él.

A continuación aparece el habitual anexo, que en este caso es de lectura recomendada para quienes no conozcan la historia de Kepler y sus leyes, y no tiene ninguna dificultad técnica para su comprensión.

La locura y el desencanto de Kepler

En la historia de las leyes de Kepler hay algo muy especial, casi rocambolesco. Alguien que no lo conozca podría pensar que fueron el fruto de un trabajo con un objetivo claro y que el astrónomo alemán se habría sentido satisfecho y feliz por su hallazgo cuando consiguió encontrar las claves que gobernaban el movimiento de los planetas.

Nada más lejos de la realidad.

Kepler se sintió decepcionado porque estaba intentando demostrar una teoría grandiosa y absurda, pero de la que estaba convencido y orgulloso de que a él se le hubiese ocurrido,  y no eran esos resultados los que hubiera querido lograr, porque contradecían su idea previa.

Según se cuenta, Kepler tenía una personalidad muy especial: introvertido, de imaginación a veces desbordante, creyente en las influencias astrológicas, profundamente religioso y admirador de la obra de un dios creador geómetra perfecto que había diseñado el mundo siguiendo unas pautas estrictas.

Es muy curioso leer la correspondencia que intercambió con Galileo, el físico italiano, cuando éste daba cuenta de sus descubrimientos con el primer telescopio, que él mismo diseño y elaboró,  y Kepler en su respuesta imaginaba seres inteligentes que vivieran en esos mundos y relaciones matemáticas caprichosas entre el número y posición de esos astros. (Esto está recogido muy bien en el libro “El mensaje y el mensajero sideral”)

La clave para las investigaciones sobre las posiciones y movimientos planetarios estuvo en el intento de demostrar lo que Kepler llamó el “misterio cosmológico”:

El misterio cosmológico de Kepler

Como en aquella época se conocían 6 planetas y existen solo 5 poliedros regulares (tetraedro, cubo,…), se le ocurrió que no era una casualidad, y que entre las órbitas de estos planetas encajarían exactamente los poliedros. Creyó ver en esos dos números la clave y la razón de la creación divina.

Una idea absurda, pero hay que reconocer que Kepler fue íntegro y riguroso buscando tenazmente la verdad aunque no fuera la que él quería.

Su personalidad imaginativa era casi opuesta, por ejemplo, a la de Galileo o Newton que siguieron estrictamente lo que la experimentación objetiva les aportaba. Pero sin embargo puede decirse que en este tema fue más meticuloso y honrado que ellos. Buscaba la verdad y no hizo trampa para demostrar sus falsas hipótesis.

Se dice que Newton trampeaba los resultados de algunos de sus experimentos cuando, debido a alguna circunstancia accesoria que no había tenido en cuenta, no obtenía el resultado que necesitaba para comprobar sus teorías. De Galileo también se dice, por ejemplo, que nunca realizó el famoso experimento de dejar caer diferentes objetos desde lo alto de la Torre de Pisa para comprobar que llegaban al suelo a la vez. Ambos estaban convencidos de cual debía ser el resultado de algunos de sus experimentos y parece que en ocasiones eso les bastaba.

Kepler podía haber dejado de lado una pequeñísima diferencia entre una posición observada de Marte y la que él necesitaba para cuadrar la órbita que encajara con su absurda teoría, pero no lo hizo. Fue riguroso e íntegro y eso le hizo encontrar la verdad a pesar de que hubiera preferido que el resultado hubiera sido otro.