Eclipses "de libro" (2)

Este post es continuación del anterior, donde hablé de los eclipses de este año, y en especial del primero de ellos, el penumbral de Luna que ha ocurrido entre la publicación de aquel y éste artículo. Si no leíste aquel, convendría que lo hicieras antes que éste, clicando en este enlace.

Tuve mucha suerte y pude verlo.

Tal como tenía previsto, ayer de madrugada me levanté 15 minutos antes del máximo del eclipse (en mi reloj era a las 1:44 y en T.U a las 0:44) y se veía una Luna esplendorosa con la parte superior ligeramente más oscura, en el centro de un enorme claro entre las nubes. Como “era de esperar” las nubes se fueron acercando a la Luna, pero “Murphy (el de la odiosa ley) no fue lo suficientemente rápido” y no la taparon hasta unos segundos después del máximo. Tampoco era decisivo porque los cambios son muy paulatinos y en esos minutos no se apreciaron.

11-2-17, 0:44 T.U. en el momento del máximo del eclipse penumbral de Luna, desde Bilbao.

En esta imagen se puede apreciar el diferente efecto de la penumbra según la zona y todas sus distintas intensidades, desde el borde superior que está muy cerca de la sombra, hasta el extremo inferior que está justo en el borde de dicha penumbra. Tal como dije, el efecto de la penumbra disminuye muy rápidamente al alejarse de la zona de la sombra.

La imagen está sin modificar el contraste, como lo vio mi cámara. 

Tal como anuncié, a simple vista parecía mucho menos contrastada, mucho menos oscura la parte superior de la Luna,  pero eso es culpa de nuestros ojos o nuestro cerebro (en eso no soy  experto), que se adaptan para apreciar mejor todas las zonas con diferente intensidad lumínica, en cualquier situación o imagen. Esto es muy fácil de comprobar si hacemos una foto a contraluz, o en un lugar con sombras pronunciadas y comparamos lo que vemos nosotros y lo que sale en la foto. La cámara es objetiva, nuestra visión no.

Al cabo de hora y media me volví a levantar y me asomé por la ventana por si se se veía algo. La Luna se intuía detrás de las nubes no muy espesas, pero después de unos minutos un pequeño claro me permitió obtener esta otra imagen.

A las 2:23 T.U. A pesar de que todavía faltaban 30 minutos para el final del eclipse penumbral, al estar ya la Luna bastante lejos de la sombra, la penunbra por esos lugares era totalmente inapreciable.

Para entender mejor la situación, imaginemos lo que ocurría en los distintos lugares de la Luna en cada uno de esos momentos, porque siempre que desde aquí vemos un eclipse de Luna, desde nuestro satélite se vería un eclipse de Sol. Concretamente si vemos un eclipse penumbral de Luna, desde allí se ve un eclipse parcial de Sol.

En este montaje se pueden apreciar las distintas situaciones:

Visión del Sol desde diferentes lugares de la Luna.

En el momento del máximo: Si alguien hubiera estado en la Luna, al Norte del mare Frigoris, en la zona que vimos más oscurecida, desde allí habría visto un eclipse parcial de Sol muy profundo,  el astro rey tapado casi totalmente por la Tierra pero no del todo, y habría apreciado un ligero oscurecimiento del ambiente, como ocurre desde la Tierra poco antes antes de que comience la totalidad de un eclipse de Sol. Pero desde la zona opuesta, al Sur del cráter Tycho, por ejemplo, se habría visto un eclipse parcial poco pronunciado, y no se habría notado prácticamente nada de oscurecimiento.
El hecho de que desde el primer lugar la porción de Sol aparezca por debajo de la sombra de la Tierra y en el otro por encima, es debido al distinto hemisferio (Norte o Sur) de los dos lugares de Luna desde los que se vería y por lo tanto a la diferente orientación de la imagen.

En la segunda imagen, la de las 2:23 T.U. la mayor parte de la Luna está ya fuera de la penumbra. Desde allí se vería íntegro el disco solar, pero desde otras zonas estaría acabando el eclipse parcial de Sol, ya con muy poca porción oculta, y no se notaría ningún oscurecimiento.

Un detalle añadido es lo alta que estaba la Luna con lo que me costó colocar la cámara. La Luna llena de invierno, cantada por los poetas. Esta es otra cuestión a recoger en una futura entrada.

Todo esto ha sido "un extra" porque no estaba muy seguro de que pudiera ver el eclipse, pero había prometido unas explicaciones sobre las frecuencias de los eclipses, de lo que este año tenemos un magnífico ejemplo, y a continuación lo cumplo.

Como hago habitualmente, lo he incluido dentro del anexo opcional “Si quieres saber más” porque hay gente a la que no le interesan estas cosas. El comienzo no tiene problemas para seguir fácilmente, pero si luego te aburres o te parece demasiado técnico para tu gusto, como suelo decir, déjalo y espera al siguiente post que será “diferente”. 

Bueno, el último apartado de este primer anexo, con un consejo práctico justo antes de los dos rombos,  sí te lo aconsejo.

Periodicidades o frecuencias en los eclipses

Cuando se habla de la periodicidad de los eclipses siempre se cita el ciclo de SAROS de 18 años y 11 días, al cabo de los cuales se repiten los eclipses de manera parecida. Pero es un periodo demasiado largo para ponerte ejemplos que te resulten cercanos, su justificación es matemática y poco intuitiva: (En pequeño) Eso de los múltiplos comunes de los periodos, pero que además no son totalmente exactos, y SAROS tampoco lo es de manera absoluta.

Dejo a SAROS para otra ocasión, y a otros ciclos aproximados que no suelen citarse, porque hay aspectos en el tema de las frecuencias de estos fenómenos más sencillos, intuitivos y didácticos con ejemplos claros en los eclipses de 2017, que quiero resaltar y que espero te hagan entender de una manera fácil el porqué de las fechas y los tipos de eclipses que se producen en 2017.

Fases y eclipses

Para entender los diferentes razonamientos hay que aclarar una circunstancia que aunque es casi evidente, muchas veces suele olvidarse: Los eclipses no ocurren en cualquier fase lunar.

Como se aprecia en el siguiente gráfico, para que haya eclipse de Sol, la Luna se tiene que colocar entre el Sol y la Tierra de manera que su sombra incida en nuestro planeta. Esta es la situación de luna nueva. (De manera análoga, para que se produzca un eclipse de Luna ésta debe estar necesariamente en fase llena) 

Situación esquemática de las posiciones de la Luna en cada una de las fases y en los eclipses, en planta, visto desde el Norte. 

Pero no siempre que hay luna nueva habrá eclipse solar (ni tampoco en cada luna llena un eclipse lunar) porque el plano de la órbita de nuestro satélite está inclinado respecto a la eclíptica, habitualmente la Luna pasa un poco por encima o por debajo, y su sombra no pega en la Tierra.

Para que ocurra un eclipse de Sol tienen que darse dos circunstancias: Luna nueva y la Luna en la cercanía de uno de los nodos de su órbita. Los nodos son los puntos de cruce de las órbita de la Luna con el plano orbital de la Tierra dos órbitas, que están en el plano orbital de la Tierra. (Lo mismo, pero con Luna Llena para que haya eclipse de Luna)

Representación en PERSPECTIVA.El gráfico es solo un esquema didáctico y no se han mantenido las proporciones ni en los tamaños ni en las distancias entre los astros.

En la situación A no habrá eclipse porque en fase llena y nueva la Luna no se sitúa en los nodos. En luna nueva su sombra pasa por debajo de la Tierra y en luna llena la Sombra de la Tierra pasa por debajo de la Luna.

En la situación B esas fases ocurren en los nodos, por lo tanto con la Luna a la misma altura que la Tierra y se producirían eclipses.

Como los astros no son un punto y tienen un cierto tamaño, no es necesario que la Luna llena o nueva esté exactamente en el nodo para que el eclipse se produzca. Debe estar cerca pero hay un cierto margen que no siempre es el mismo porque varía un poco según la distancia de nuestro satélite (cercanía al perigeo)

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Para ilustrar las siguientes explicaciones pongo ahora un gráfico que recoge las fechas de todos los eclipses desde 2011 hasta 2020, y a partir de él se irán comprobando distintas circunstancias relativas a las frecuencias de los eclipses.

Le llamaré “GRÁFICO DE LA DÉCADA” y me voy a referir a él varias veces. 

La escala es semestral, en vez de anual como parecería lógico, porque se ajusta mejor a los “periodos” de los eclipses y permite seguir mejor la evolución consecutiva de todos ellos. Por este mismo motivo he trasladado hacia la izquierda una porción correspondiente a 2020 y parte de 2019.

Este gráfico completa al que realicé hace un año para explicar las frecuencias de los eclipses de Luna, y ahora lo he ampliado también con los de Sol.

Las fechas del gráfico y la colocación de cada eclipse no son rigurosamente exactas (solo son muy aproximadas), debido a la diferente duración de los meses y el solapamiento de éstos.

Cada medio año, eclipses.

Hace casi un año expliqué por qué en la mayoría de los casos, 6 lunaciones después de un eclipse de Luna, (unos 5 días menos de los 6 meses dependiendo del número de días de esos meses) se vuelve a producir otro, aunque hay excepciones, y en ocasiones ocurre al cabo de 5 lunaciones o incluso en dos lunaciones seguidas. Después de 7 u 8 eclipses lunares que siguen la norma, se producen las excepciones

Con los eclipses de Sol ocurre lo mismo, y aquí pongo un gráfico y una explicación similar al que utilicé con los de Luna:

Aunque desde nuestro punto de vista y lo que se observa en los eclipses de Sol y de Luna corresponde a dos situaciones muy diferentes, en realidad la geometría es análoga porque en unos la sombra de la Luna toca la superficie terrestre y en los otros es la sombra de la Tierra la que incide en la Luna.

El siguiente gráfico es solo una primera aproximación a la situación real para ilustrar los periodos aproximados de 6 meses, que más adelante iré matizando.

  

En la situación 1 la luna nueva está en el nodo y hay eclipse de Sol. Los siguientes meses, está por encima de la eclíptica, su sombra pasa por encima de la Tierra y no hay eclipse (por ejemplo en 2).

La situación 3 ocurre 6 lunaciones después de la 1, casi 6 meses después. la Luna vuelve a estar cerca del nodo y nuévamente hay eclipse.

En las siguientes lunas nuevas la sombra pasa por debajo de la Tierra y no hay eclipse (por ej. en 4)

Además, como voy a detallar enseguida, los eclipses se producen siempre al menos por parejas (uno de Sol y otro de Luna) o a veces por tríos, con 14 o 15 días de diferencia entre uno y otro, y por eso habitualmente cada 6 meses (un poquito menos) tenemos varios eclipses seguidos.

Según parece deducirse del gráfico anterior, la frecuencia debería ser de medio año porque es cuando la línea de los nodos vuelve a alinearse con el Sol. Evidentemente no pueden ser 6 meses exactos porque la luna nueva (o llena) no se repite al cabo de ese tiempo, sino habitualmente los mencionados 5 días antes. Pero hay otro factor que hace que se adelanten un poco más y en ocasiones el intervalo sea de 5 lunaciones en vez de 6, y por eso se van adelantando poco a poco en el calendario. En caso contrario, ¡todos los años sería en febrero y agosto como ahora!

Esto es porque la orientación de la línea de los nodos, que se ha supuesto invariable en el gráfico para una primera explicación aproximada, en realidad va girando (en sentido horario visto desde el Norte) dando una vuelta completa cada 18.6 años, y en cada ocasión vuelve a estar alineada con el Sol un poco antes.

De una vez a otra esta diferencia es pequeña pero se va acumulando, y en un momento se produce un salto, siendo el intervalo de un eclipse de Sol a otro de Sol (o de uno de Luna a otro de Luna) de 5 lunaciones en vez de 6.
En el "gráfico de la década" se ve que esto ocurrió en 2011, 2013 y 2017.

La justificación teórica de esta excepción quizás sea demasiado técnica y lo paso al final, al otro anexo recomendado "solo para entendidos", para que nadie se aburra ahora y deje de leer lo que viene a continuación, que en más interesante y sencillo.

Como se verá ahora, hay otras excepciones donde la diferencia es de solo una sola lunación.

Aunque el periodo del movimiento de la línea de los nodos es de 18.6 años, como son dos veces cada año cada 9 años aproximadamente se vuelven a repetir en los mismos meses, como se ve en el “gráfico de la década” que en 2020 vuelven a ocurrir en torno a junio y diciembre, como ocurrió en 2011.

Por parejas

Siempre que hay un eclipse de Sol, cuando 14 o 15 días después sea luna llena (o en la anterior, dos semanas antes), hay eclipse de Luna porque si en el eclipse solar nuestro satélite estaba en el nodo o cerca de él, dos semanas después la Tierra se ha movido un poco en traslación pero no demasiado, estará cerca del otro nodo y, como hay un margen, todavía le pillará en situación de eclipse.

Concretando un poco más:

- Si en el eclipse de Sol la Luna nueva estaba un poco antes del nodo (en 1), dos semanas después la Luna llena estará un poco después del otro nodo (en 2) y habrá eclipse de Luna, como se representa en el siguiente gráfico:

- Si, por el contrario, en el eclipse de Sol la Luna nueva estaba un poco después del nodo, dos semanas antes la Luna llena había estado un poco antes del otro nodo y en este caso el primer eclipse de la pareja fue el de Luna. Análogo que el anterior pero al revés.

- Si en el eclipse de Sol la Luna nueva está casi exactamente en el nodo (en el siguiente gráfico en 2), tanto la Luna llena anterior (1), como la siguiente (3) están cerca del otro nodo pero no demasiado, por lo que no llega a penetrar en la sombra, se queda en la penumbra y se produce un eclipse penumbral. 

En este último caso, en vez de una pareja de eclipses seguidos, tenemos un trío, 

De manera similar, si es el eclipse que se produce muy cerca del nodo es de Luna, dos semanas antes y después habrá eclipses de Sol, pero solo parciales y será otro trío.

En estos casos los dos extremos del trío corresponden a eclipses de un mismo astro (Sol o Luna), separados por una sola lunación.

Pero estos tríos ocurren cuando la Tierra está cerca del afelio porque se mueve más despacio y da tiempo a que se produzcan los tres. Por tanto prácticamente siempre ocurren en julio y los meses contiguos.

Aunque los episodios de tres eclipses seguidos parecen más atractivos por su mayor número, en realidad no es así porque los dos de los extremos son malos (penumbrales si son de Luna o si son de Sol, solo parciales). Pero también tienen algo bueno, y es que el eclipse central de los tres, será total y en principio de mayor duración de lo habitual, aunque en esto puede tener más influencia la cercanía de la Luna a su perigeo.

Esta circunstancia se visualiza en el gráfico que apareció antes, el "gráfico de la década", donde en 2011, 2013 y 2020 hay tríos con un eclipse “bueno” escoltado por dos “malos”

Otro detalle a tener en cuenta es que aún cuando sigan la norma general de 2 pares de eclipses separados por 6 lunaciones, y por tanto en un año natural serían de esperar 4 eclipses, como ocurre en 2017, pueden ocurrir 5 si el primero es al comienzo de enero porque 12 lunaciones después todavía no ha acabado el año y da tiempo para otro más.

Cuando aparecen las excepciones de los "tríos", puede haber 6, o incluso 7 eclipses en un año, si coinciden  varias circunstancias:  Cuando hay un trío, se produce un adelanto (eclipse al cabo de 5 lunaciones en vez de 6) con lo que si a principio de año se produce la primera pareja de eclipses, da tiempo a que haya otra antes de acabar diciembre. Esto ocurrió en 1982, con eclipses en las fechas 9-1, 25-1    /    21-6, 6-7, 20-7    /    15-12, 30-12 ,  en cada grupo primero el de Sol, pero lógicamente los de Luna fueron buenos, todos ellos totales, y los de Sol malos, todos parciales.   

Otros aspectos destacables

- Eclipses de Sol anulares y totales:

A estos eclipses se les suele llamar “centrales” porque desde algún lugar de la Tierra la Luna pasa justo por en centro del Sol, y ocurrirán cuando nuestro satélite esté muy cerca del nodo. Si se diese una exactitud total se vería desde el ecuador, pero hay margen por el tamaño de la Tierra y se pueden ver totales desde otras zonas.

El que sea total o anular, depende del tamaño aparente de los dos astros vistos desde la superficie de la Tierra. Por una tremenda casualidad, ambos se ven casi del mismo tamaño (el Sol es unas 400 veces más grande, pero está unas 400 veces más lejos).

Pero las distancias no son siempre las mismas ya que las distancias varían. Si la Luna está en el perigeo, al estar un poco más cerca se verá un poco más grande y tapará completamente al Sol, pero no lo hará si está en el lugar más lejano (apogeo)

También, en menor medida, el tamaño aparente del Sol varía, viéndose más grande cuando la Tierra está en el perigeo o cerca (primeros de enero)

Estas dos circunstancias favorecen el que vayan alternando total y anular, y por tanto que los dos eclipses de un mismo año sean de diferente tipo, porque en 6 meses el efecto perihelio afelio es el contrario y el perigeo apogeo casi también.

Sin embargo la llamada linea de los ábsides de la órbita lunar (que pasa por el perigeo y el apogeo) no se mantiene fija y va girando ligeramente. Como este factor es el que más influye, aunque en la mayoría de los casos se produce la mencionada alternancia, hay muchas excepciones al tener en cuenta los dos factores (cuando no ocurren muy cerca del perigeo – apogeo) y que casualmente se han concentrado en estos años lo puedes ver en el manido “gráfico de la década “que en este aspecto no es nada representativo respecto a otra décadas.

Aunque actualmente se está produciendo una de esas excepciones (dos anulares seguidos) por casualidad se produce la alternancia considerando el año natural, tanto el año pasado como éste: En 2016 Total-Anular  y en 2017 Anular-Total.

Hay otro tipo de eclipse de Sol, el llamado híbrido que en esta década ocurrió en noviembre de 2013 que se produce cuando en el recorrido de la Sombra de la Luna por la superficie terrestre en un tramo ocasiona un eclipse total y en otros tramos anular. 
En esos casos vértice del cono de sombra de la Luna está muy cerca de la superficie terrestre, a veces la toca y a veces no, ya que debido a la curvatura del globo terrestre la Luna puede estar ligeramente más cerca o más lejos de dicha superficie. Es la misma cuestión que expliqué en noviembre con motivo de la famosa superluna: 

Ciclos buenos y malos

Está claro que los eclipses parciales de Sol y los penumbrales de Luna, que ocurren cuando nuestro satélite no está demasiado cerca del nodo, son mucho menos espectaculares e interesantes que los otros. Como los desajustes se produce poco a poco, esto da lugar a que varios eclipse “buenos” vayan seguidos en series de 4 o 5 y los “malos” también, afortunadamente en número algo menor. Hay alguna excepción porque un eclipse puede ser de un tipo u otro “por muy poco” y los factores que intervienen son varios, cada uno con diferente periodo.

Esto también se puede observar en el “gráfico de la década”.

Las épocas buenas de los de Sol, corresponden con épocas malas de los de Luna por las razones que he dado al hablar de los “tríos”, y viceversa.

Como se ha dicho antes, considerando independientemente los de Sol y los de Luna, lo más habitual es que ocurran eclipses al cabo de 6 lunaciones, pero a veces hay saltos en esa regularidad y se producen al cabo de 5. Estos saltos ocurren después de 7 u 8 eclipses “regulares” que siguen la norma de las 6 lunaciones, y van alternando estas excepciones los de Luna y los de Sol que nunca ocurrirán en ambos a la vez.

Esto se puede apreciar también en el “gráfico de la década”.

Todo ello lleva a que el año que los de Sol son muy buenos, los de Luna sean malos; como ocurre este año 2017 (lo que también se puede apreciar ver en susodicho gráfico), y viceversa.

También aquí puede haber pequeñas excepciones y hay que señalar que hay matices que el gráfico no recoge. Aunque todos los totales eclipses de Sol pueden considerarse “buenos”, unos lo son mucho más que otros, tienen una duración y se pude notar una mayor oscuridad en el momento central porque la Luna está cerca y el Sol lejos.

Un truco para acordarte.

Es posible que te hayan entrado ganas de ver la próxima pareja de eclipses de este año desde el mejor sitio posible aprovechando que quizás en agosto tendrás vacaciones. Sabes que son en agosto porque los ha habido ahora en febrero (6 meses antes) y leíste aquí que este año no hay excepciones. Es posible que un día pases por una agencia de viajes, veas una oferta de esas “solo si lo compras hoy” y te lances.

Pero claro, no te acuerdas de las fechas exactas y no quieres que te pase como a la amiga de mi mujer, que nos la encontramos de improviso en China en una tienda de jarrones, le comentamos que habíamos ido a ver el eclipse, “-Que no sabía nada, ¿Cuándo es?”  “- El próximo jueves” “-Vaya! y yo me vuelvo el miércoles”

Not problem. Como encima de la mesa de la agencia tendrán un calendario, que casi con toda seguridad recogerá las fases lunares,.. A tiro fijo fijo: busca la luna nueva de agosto y ese día el eclipse de Sol, “- Billete para EEUU”.

Y si andas bien de dinero y aún quieres más, el eclipse de Luna, el día de luna llena. “- Billete para la India”.

Que tengas buen viaje(s)

Solo cinco lunaciones después

Aquí recojo la explicación de cómo el leve movimiento de retrogradación de los nodos (giro de la línea de los nodos) provoca las irregularidades en los periodos de 6 lunaciones y se produce a veces la excepción y hay un eclipse al cabo de solo 5.

Hago la explicación con los eclipses de Luna. Con los de Sol la situación es análoga porque, aunque lo que vemos desde aquí son dos aspectos totalmente diferentes, geométricamente, y salvando las diferencias de tamaño de los conos de sombra y penumbra producidos por la Tierra y la Luna, las circunstancias son las mismas.

No todos los ciclos son idénticos porque intervienen otros factores, pero son muy similares. Este sería un ejemplo típico.

Como se dijo, para que se produzca un eclipse no es necesario que la Luna esté exactamente en un nodo, y hay un cierto margen.

En un primer gráfico, en perspectiva, se representa la órbita de la Luna y diferentes posiciones de nuestro satélite en las situaciones tope para que se puedan producir los diferentes tipos de eclipses.

Lo más importante son las distancias T, P y N que representan las separaciones máximas entre el nodo y la Luna, en cada uno de los casos.

Si hay eclipse total de Luna, ésta estará más cerca del nodo que el ángulo T (en rojo)

Si hay eclipse parcial, la Luna estará más cerca del nodo que el ángulo P (en naranja)

Si hay eclipse penumbral, la Luna estará más cerca del nodo que el ángulo N (en verde)

Es solo un gráfico didáctico y no están a escala ni los astros, ni las distancias, ni los intervalos T, P o N y se ha exagerado el ángulo entre los planos de las órbitas lunar y terrestre (la eclíptica).

La línea de los nodos va girando, pero aquí se ha mantenido fija y se ha supuesto el Sol en diferentes situaciones cuando hay luna llena, y por eso aparecen los conos de sombra en diferente orientación.

Solo se ha dibujado el cono de penumbra en el último caso porque en los otros no es importante, y para no recargar más el gráfico.

  

En el segundo gráfico, en planta, se representan las posiciones de la Luna en sucesivos eclipses, cada 6 lunaciones hasta que se rompe la regularidad y ocurre al cabo de solo 5 lunaciones.

Está recortado y ampliado para apreciar los detalles. En la esquina aparece completo.

Los intervalos T, P y N se han tomado a ambos lados del nodo.
La posición de nuestro satélite en luna llena se va separando cada vez más del nodo en los sucesivos eclipses (unos 5º) porque la Tierra se encuentra en diferente lugar de su órbita (de un eclipse a otro unos 5º en sentido directo ), pero sobre todo porque la línea de los nodos va girando (unos 10º en sentido retrógrado -como las agujas del reloj-). 

Se han representado las situaciones (A, B, C, D, E) cada 6 lunaciones, una más (X) en el caso de la excepción de eclipse tras solo 5, y la siguiente (Y) otra vez 6 después.

En A la Luna está justo en el nodo y se produce un eclipse total, lo mismo que en B, donde ya se ha separado un poco (del otro nodo). En C será total o quizás parcial (depende de las posiciones del perigeo y perihelio), en D será penumbral y en E quizás ya no habrá eclipse (podría haberlo penumbral –caso trío-). 
Pero antes en X, 5 lunaciones después de D, hay eclipse penumbral porque se ha acercado al nodo por el otro lado. Ahí, en X ocurre el salto de las 5 lunaciones. El siguiente eclipse en Y, 6 lunaciones después de X (5 después de E) será también penumbral.
Dependiendo de que en E haya eclipse o no, la uniformidad de los 6 seguirá la secuencia 5-1-5 o solamente 5. (ver el gráfico de la década)

Este proceso (de A a X, o de A a E) representa solo la mitad de un ciclo. Antes de A las situaciones serían simétricas.

En este último gráfico, aunque las distancias y tamaños tampoco están a escala, la separación angular entre las distintas posiciones y las sucesivas orientaciones de la línea de los nodos corresponden, con bastante aproximación, a los valores reales.