Equinoccio: Cuando las sombras mantienen el rumbo

Este año 2016, el día 22 de septiembre a las  14:21 T.U. (T.U. -Tiempo Universal, referencia común para los astrónomos en todo el planeta), comienza la primavera en el hemisferio Sur, pero yo no tengo tanta suerte porque aquí, en el Norte, nos toca el otoño que nunca es tan bien recibido como la estación de las flores. Para mí será a las 16:21 hora central europea. Es el equinoccio.

El otoño y la primavera llegan a la vez, pero en distintos hemisferios. Crédito: Kopczynski - Adam

El pasado año con este motivo escribí un post explicando las causas de  las ligeras variaciones de un año a otro en la fecha o en la hora en que se produce el equinoccio: “El otoño nunca empezó el 21” , y seis meses después, en el otro equinoccio, expliqué en detalle las circunstancias astronómicas que determinan las estaciones: “Ya llega la primavera” 

Si hoy en tu localidad está nublado, o es tarde y ya se fue el Sol, puedes leer (si no lo hiciste en su día) estos dos artículos antes de seguir con éste de hoy, porque siguen teniendo total validez y son clarificadores y muy completos.

Pero si tienes un día soleado, aunque sea a ratos, te sugiero que antes de nada busques un trozo de tiza o un rotulador grueso y hagas un experimento:

En fechas próximas al equinoccio (tanto el de septiembre como el de marzo) se produce una circunstancia de la vida cotidiana, en la que probablemente nunca te habrás fijado porque son cosas que no nos suelen importar: las sombras se comportan de una manera extraña:

Busca un lugar llano a donde estés dispuesto a ir varias veces a los largo del día de hoy y donde pegue el Sol al menos durante varias horas: Una plaza, un patio, la terraza de casa, …. No importa que esté un poco inclinado, que haga cuesta, pero debe ser más o menos plano, sin hoyos ni montículos pronunciados.

En esa superficie, en el suelo, busca una sombra y un punto concreto de ella. 

Por ejemplo el extremo de la sombra de una farola, de la esquina de una portería, del soporte de una papelera, …o si no encuentras ninguna, coge un recogedor de basura como el de la imagen, colócalo fijo sin que se mueva poniendo un peso encima por si hace viento, y fíjate en el extremo de su sombra. 

Marca ese punto en el suelo con el rotulador, pero no muevas nada.

Al cabo de un rato (pueden ser 15 minutos, o 30 , o incluso 2 horas) cuando te venga bien, vuelve al mismo sitio, busca la marca que hiciste y verás que lógicamente la sombra se ha movido. Sin borrar la anterior, vuelve a marcar la nueva posición de ahora (la sombra del mismo extremo del mismo objeto que antes, asegurándote de que dicho objeto esté exactamente en el mismo sitio) y repite la operación 5 o 6 veces a lo largo del día.

Como sé que ahora estás leyendo y todavía no has empezado con el experimento, te hago una pregunta: ¿Qué piensas que ocurrirá con la posición de todos esos puntos que vas a ir marcando en el suelo?

¿Se distribuirán de manera anárquica, o seguirán algún patrón? ¿Piensas que describirán un arco de círculo, u otra figura geométrica?

Deberías de dejar de leer ahora, hacer el experimento y luego, al final del día continuar leyendo; pero como me imagino que no lo vas a hacer, te cuento lo que va a ocurrir, lo compruebas hoy (o mañana si ya es tarde) y luego decides si concuerda lo que describo con lo que a ti te ha salido. Si tuvieras alguna duda cuéntamelo en un comentario o en un email.

Una vez que tengas todos los puntos marcados en el suelo, al final del día, o cuando ya te hayas cansado de hacer marcas, coge una cuerda suficientemente larga, pide a un amigo que sujete de un extremo, colocadla bien tirante sobre las marcas que hiciste en el suelo y comprobaréis que todas ellas están en línea recta. La dirección de esa línea es precisamente ESTE-OESTE.

Exactamente el día del equinoccio, y aproximadamente los días próximos (en una semana no cambia mucho la situación si no marcas sombras de primera o última hora del día), siempre ocurre eso. 
Si estás leyendo esto unos días después de ocurrir el equinoccio, pero no son demasiados, no te prives de hacer el experimento.

La víspera del equinoccio (21-9-2016), la línea que forman los extremos de las sombras ya se veía bien recta.

Hace más de 25 años, en el instituto de Sestao, ya se marcaban las sombras el día del equinoccio.

¿Y los demás días del año?

Si repites el experimento dentro de 2 o 3 semanas, o más tarde, verás que NO. La línea se va curvando cada vez más, hasta el 21 de diciembre.

Cualquier día diferente del equinoccio, la sombra de un punto concreto (por ejemplo del extremo) de cualquier objeto, al proyectarse a lo largo de las horas sobre el suelo, describe una curva que los matemáticos llamamos hipérbola. Podrás comprobar, utilizando la cuerda a modo de compás, que no es un trozo de círculo.

Hay algunos lugares en los que se produce alguna excepción de esto último, pero estoy casi seguro de que no vives en ninguno de ellos.

Como en muchos post de este blog suelo decir, lo importante ya lo has leído. En este caso ha sido una propuesta de un experimento sencillo que quizás te sorprenda, te haga pensar y te motive para buscar las razones.

Pero si te gusta saber de antemano el porqué de las cosas, o quieres sacarle más jugo al experimento, sigue leyendo el anexo.

En este lugar, del Instituto de Sestao, se pintaron franjas de colores según las posiciones del extremo de la sombra del listón cada mes zodiacal, según datos experimentales tomados durante todo un año. La separación de la franja amarilla y marrón es una línea recta y ya sabes a qué fechas corresponde.

¿Por qué ahora una recta, y luego no?

Para entender el tema de las sombras iré poco a poco describiendo diferentes situaciones. Como es lógico, primero las causas y luego las consecuencias.

Ahora de manera algo intuitiva. En el siguiente anexo (después de los dos rombos) daré la justificación geométrica.

Debido a la inclinación del eje de la Tierra se producen las estaciones y vemos el Sol a diferentes alturas y diferentes recorridos por el cielo según la fecha.

Intentemos visualizar y entender el llamado “modelo de las dos esferas” que he representado en el siguiente gráfico, y ya he utilizado alguna otra vez: En el centro la esfera terrestre. Envolviéndola, otra esfera imaginaria en la que se representan las posiciones relativas de los diferentes astros, que se le llama esfera celeste.

Todas las referencias a las estaciones corresponden al Hemisferio Norte.

Para nosotros, nuestra referencia terrestre está quieta y respecto a ella vemos moverse la esfera celeste. 

A lo largo del año el Sol recorre la eclíptica (línea azul) en el sentido de la flecha azul, situándose en solsticios y equinoccios en los lugares indicados.

Pero toda la esfera (y el Sol con ella) la vemos moverse por efecto de la rotación, según pasan las horas (prácticamente una vuelta cada día), en el sentido de las flechas roja, rosada y verde (en el solsticio de verano, equinoccios o solsticio de invierno respectivamente)

Pero pensemos qué es lo que vemos desde nuestro planeta:

Desde cada punto de la Tierra, en cada momento será visible media semiesfera celeste; la que queda en esa zona cortando por un plano tangente a ese punto.

Por ejemplo, desde el polo Norte, veríamos exactamente la mitad superior de la esfera celeste, del ecuador celeste (círculo de color rosado) hacia arriba. En el solsticio de verano el Sol, situado en el círculo rojo, daría vueltas paralelo al horizonte.

En cualquier otra fecha de verano o primavera, el Sol seguirá estando en la semiesfera superior y la situación es la misma: Si estuviéramos en el polo Norte, veríamos moverse el Sol de la manera representada en el siguiente gráfico, una vuelta en 24 horas. En esas fechas el Sol no se oculta.

El rayo de Sol que pasa por el extremo del listón describe un cono, y el extremo de la sombra traza en el suelo un círculo. Hay que fijarse en que el cono se forma porque el extremo del listón está situado por debajo del plano del círculo que describe el Sol

Desde el polo Norte, en primavera o verano

En la misma fecha pero si estamos en otras latitudes fuera del círculo polar, el Sol se oculta todos los días. La situación es la misma y se forma el mismo cono (una parte de él) pero el suelo está inclinado respecto al suelo del polo. El círculo que describía la sombra sobre el suelo del polo, aquí se abre y queda esa línea curva abierta que se llama hipérbola.

Situación en latitudes medias del Hemisferio Norte, un día de verano o primavera. En el Hemisferio Sur, los puntos cardinales N y S estarán cambiados, así como el sentido del movimiento del Sol y las sombras.

En el gráfico se ha completado el plano en el que se mueve el Sol con una línea roja a trazos para visualizarlo mejor y comprobar que el extremo del listón está fuera de él, por debajo,  y por ello se forma el cono.

En invierno del Hemisferio Norte, el Sol está en la línea verde de las dos esferas, por debajo del ecuador celeste. En el polo Norte el Sol no aparece, pero en otras latitudes el rayo de Sol que pasa por el extremo del listón describe otro cono. En este caso el extremo del listón (vértice del cono) está situado por encima del plano del círculo que describe el Sol, y las sombras describen en el suelo otra hipérbola orientada en sentido contrario.

Situación en el Hemisferio Norte en Invierno.

También la línea roja a trazos, situada en el plano en que aparentemente se mueve el Sol, puede ayudar a visualizar el hecho de que el extremo del listón está fuera y por arriba de él.

Llegamos ya a la clave:

En los equinoccios el Sol se sitúa en el ecuador celeste. La Tierra está en el centro del círculo que describe diariamente el Sol (línea rosada en el gráfico de las dos esferas), y cualquier objeto en la Tierra, por ejemplo el extremo del listón, se puede considerar también en el centro.

Por eso los rayos del Sol que pasan por el extremo del listón no “se hunden”, no forman un cono, sino un plano. Y en el suelo describirán una línea recta, que es el corte de ese plano con el plano del suelo.

Situación en el Hemisferio Norte, en los equinoccios

Como resumen de estas situaciones, para poder comparar mejor, aquí están las tres juntas, diferentes según las fechas.

Recorridos del Sol y las sombras en un lugar de latitud media Norte, en solsticios y equinocccios. En el Hemisferio Sur los puntos cardinales están cambiados.

Si prefieres ver las sombras proyectadas en una pared, la situación es similar: En los equinoccios se trazarán rectas y en otras fechas hipérbolas.

La cosa se pone más interesante, y más complicada, si proyectamos las sombras en cualquier fecha en un plano bastante inclinado, o lo que es lo mismo, en el suelo de lugares de latitud elevada, como en interior de los círculos polares.

Si todavía tienes ganas de seguir con el tema y no te asustan las representaciones geométricas,  puedes leer el anexo después del rombo..

Pero antes, otra sugerencia: Ya que nos hemos tomado el trabajo de marcar todos esos puntos en el suelo, ¡que sirva para algo más!

Cálculo de la latitud del lugar con las sombras del equinoccio

En el equinoccio se puede calcular experimentalmente la latitud del lugar porque ese día precisamente la altura que alcanza el Sol sobre el horizonte a mediodía es exactamente la colatitud (90º-latitud), y ese ángulo puede ser medido fácilmente por medio de la sombra que proyecta un objeto vertical. O visto de otra manera, el ángulo que forma con la vertical es la latitud.

El ángulo que forma el plano del ecuador celeste con el plano del suelo es siempre la colatitud.

Como ese día el Sol se sitúa justo en el Ecuador celeste, la altura que alcanzará el astro rey al mediodía, (justo cuando está en dirección Sur), es la misma que la que forman esos planos.

El ejercicio puede plantearse de dos maneras. Una medición puntual, o utilizar el recorrido de las sombras que se hayan marcado en el suelo durante varias horas.

A mi modo de ver es mucho más adecuada esta segunda opción por varios motivos:

- Dificultad de determinación del mediodía (No es a las 12h ni a las 14h como suele decirse. No es tan fácil como parece porque es diferente en cada lugar según la longitud geográfica y la fecha)

- Posibilidad de que en ese momento se nuble.

- Es mejor trabajar con tranquilidad con unos datos ya obtenidos, poder repasar y comprobar, evitar imprevistos.

- Posibilidad de corregir errores a posteriori en el diseño del experimento (suelo no totalmente llano)

- Utilización de un trabajo previo que de por sí tiene una gran utilidad didáctica.

Una vez trazada la línea recta que determinan los extremos de la sombra, incluso al día siguiente:

a)- A partir de la trayectoria de los extremos de las sombras, que ha quedado dibujada en el suelo, se van midiendo las distancias desde la base del objeto hasta los diferentes puntos de la trayectoria de la sombra (S), y se tomará la más corta, como se indica en el siguiente gráfico.
Sabemos seguro que es la que corresponde al mediodía, porque fue el momento en que el Sol alcanzó la mayor altura.

b)- Se mide la altura del listón: L

Aunque para trazar la línea del extremo de las sombras no era importante, ahora es fundamental comprobar que el suelo es horizontal y el listón vertical. Aunque si no lo fuera, siempre podemos hacer las correcciones necesarias tras comprobación con una plomada y un nivel.
Siempre hay que considerar la vertical (en el suelo) del punto que producía las sombras, aunque el listón pudiera estar inclinado.

c)- Por métodos trigonométricos o dibujando en un papel un triángulo semejante y midiendo el ángulo con un transportador, se obtiene el valor del ángulo de la latitud.

El día del equinoccio se puede calcular la latitud del lugar, de manera experimental.

Hay otra manera de determinar el momento del mediodía y hacer la medición de la longitud de la sombra, y es tener dibujada previamente la línea meridiana (Norte –Sur) que pasa por la base del listón, y cuando la sombra esté sobre ella es el momento del mediodía.

Pero el trazado de la línea meridiana conviene hacerlo cualquier otro día previo, también utilizando sombras (en otro post explicaré el método). La determinación de la meridiana con una brújula si no se está acostumbrado, muchas veces es erróneo o impreciso por no tener en cuenta la declinación magnética, u otros motivos.

También este método tiene el problema de que se nuble justo en ese rato y no podamos hacer nada.

Por el método del trazado de la línea que marcan los extremos de las sombras se eliminan todos estos problemas. Incluso aunque solo haga sol unas pocas horas por la mañana o por la tarde, se prolonga la línea recta y se obtienen los datos.

Todas las cónicas

Aunque en el anexo anterior no se ha detallado tanto, Según la latitud y la fecha, exceptuando los días del equinoccio que sale una recta, los extremos de la sombra de un objeto pueden describir una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. Precisamente las curvas que en matemáticas se denomina CÓNICAS porque surgen al cortar un cono con un plano.

Se suele dibujar un cono doble porque en el caso de la hipérbola hay dos posibles ramas, que aparecen simultáneamente pero en distintos hemisferios, uno en verano y otro en invierno. En nuestro ejemplo los conos son mucho más abiertos y van cambiando de amplitud con la fecha.

En el dibujo las dos hipérbolas son iguales y representan la situación en el Ecuador. Al ir cambiando de latitud, el plano se va inclinando poco a poco (sin llegar a ser paralelo a la generatriz –borde del cono-) y salen diferentes.

Como se ha dicho antes, el día del equinoccio el Sol describe un círculo máximo de la esfera celeste. La Tierra (y el extremo del listón con ella) está en el centro de ese círculo, por lo que los rayo de sol que pasan por el extremo del listón describe un plano.

El resto de los días esos rayos de sol describen un cono, con el vértice en el extremo del listón, más arriba o más abajo que el círculo descrito por el Sol.

Al cortar cualquier cono con un plano (en este caso el suelo) siempre saldrá una cónica. Una u otra dependiendo de la inclinación relativa del suelo respecto a la trayectoria aparente del Sol y de la amplitud del cono (de la inclinación de su generatriz), es decir, de la latitud y la fecha.

- En los polos siempre que sea verano o primavera sale una circunferencia. El resto de los días el Sol no sale.  Aunque este gráfico ya ha aparecido antes, lo vuelvo a poner para que sirva de referencia al siguiente.

En el polo

- En cada lugar del interior desde los círculos polares (aparte del polo), en las fechas de día perpetuo, cuando se produce el sol de medianoche, la situación es igual que la anterior pero el suelo está un poco inclinado respecto al del polo. 

Dicho de otra manera, si el suelo lo representamos siempre horizontal, es la trayectoria y el cono de los rayos solares del anterior gráfico el que está inclinado. La circunferencia que formaban los extremos de las sombrasse alarga en sentido Norte-Sur y se transforma en una una elipse

Dentro del círculo polar, según lugar y fecha concreta.

      

- En el límite de los círculos polares (latitud 66º33´) el día del solsticio de verano el Sol llega a tocar el horizonte, la sombra a medianoche se hace infinita, la elipse se alarga hasta el infinito, y sale una parábola.

Límite del círculo polar, en el solsticio de verano.

También aparece la parábola en el interior de los círculos polares en otra fecha,  según la latitud concreta de cada punto en un día concreto.

- Fuera de los círculos polares salen siempre hipérbolas.

También salen hipérbolas en el interior de los círculos polares, en los lugares y fechas en que el Sol llega a salir y ponerse.

- La excepción es el día del equinoccio, en que no sale una cónica, porque no se forma el cono. Los rayos solares describen un plano, y la intersección de ese plano con el plano del suelo será siempre una recta.

Cuando tenga tiempo, pienso elaborar un vídeo con los diferentes gráficos recogidos en este post, con el movimiento del Sol y la sombra paso a paso, que espero que sea muy ilustrativo de todas las situaciones.
Posiblemente vuelva a publicar un resumen de este post, con alguna aportación más, unos días antes del equinoccio de primavera e incluiré allí ese vídeo.