Midiendo ángulos en el cielo

En este artículo se describe una actividad didáctica y es continuación del publicado hace casi dos semanas, que puedes leerlo en este enlace: “Donde empieza el cielo”. En ambos recojo el desarrollo de las primeras clases del curso que yo impartía a alumnado de secundaria de la asignatura optativa de Astronomía en el instituto de Sestao.

Si has entrado aquí desde el enlace de Facebook o Twitter, al final en el anexo tienes la respuesta a la cuestión que allí formulaba.

1- Preámbulo

En ocasiones se oyen frases como “Anoche se veía la Luna muy grande. Como una moneda de 2 euros”, o “¿Cuál es aquella estrella tan brillante? Esa que está a un palmo a la derecha de aquella torre”.

Estamos acostumbrados a medir los tamaños y las distancias con unidades de longitud, pero evidentemente estas no nos sirven para medir las distancias aparentes con que vemos las posiciones de los astros en el cielo. Aunque intentemos tomar referencias de la vida diaria, como en los ejemplos anteriores, deberíamos añadir a qué distancia del ojo colocamos la moneda o el palmo porque con ese dato, sí.

En el citado post "Donde empieza el cielo" narraba cómo mi alumnado se daba cuenta de que el tramo de horizonte que abarcaba una mano abierta con el brazo totalmente extendido tenía muy diferente longitud (en metros) según la distancia a la que se encontrase, y que para medir estas cosas del cielo era necesario utilizar ángulos: había que medir en grados.

Además obtenían un método para medir estos ángulos, y unos criterios e instrumentos de medida que habitualmente suelen aparecer en diversos manuales didácticos:

Ángulos que podemos abarcar con el brazo totalmente extendido.

Aunque muchas veces suelen proporcionarse directamente estos datos, aprendidos de manera mecánica se olvidan fácilmente; mientras que si los alumnos los calculan por sus propios medios serán capaces de recurrir a ellos e incluso en un futuro volver a obtener los valores si no los recuerdan. Por ello yo no se lo daba, sino que prefería que ellos lo descubrieran.

2- La segunda actividad del curso

Como explicaba en el anterior post, para examinar el horizonte y familiarizarse con él, el alumnado se colocaba en corro mirando hacia afuera, extendían el brazo y abrían la mano todo lo posible y de manera sucesiva cada uno iba tomando un tramo de horizonte que abarcaba entre los extremos del dedo pulgar y el meñique, hasta completar los 360º. Eso se conseguía con 18 manos, y de ello deducían que cada mano abarcaba unos 20º (360º/18).

Después comprobaban que en ese ángulo que abarcaba la mano cabían dos puños; con lo que ya tenían otra referencia para los 10 grados. Y que la anchura del dedo pulgar, también con el brazo totalmente extendido, era aproximadamente de 2 grados porque podían poner unas 5 veces ese dedo en lo que abarcaba un puño. Y el grosor del dedo meñique, la mitad: un grado.

Calibrando el ángulo del puño a partir de la mano abierta

Algún año hicimos esto con referencias del horizonte inmediatamente después de la actividad anterior en que se lo repartían o, si no habíamos tenido tiempo, en la siguiente sesión ya en el aula tomando referencias o haciendo marcas en la pizarra y colocándose al fondo de la clase.

Todo ello evidentemente era un cálculo aproximado porque la proporción ente la longitud del brazo y el tamaño de la mano no es exactamente igual en todas las personas. En ocasiones el horizonte podría completarse con 17 o con 19 manos, pero entonces al hacer la división sale  21.1º o 18.9º y les pedía que, no siendo una medida exacta, mejor que redondeasen dejándolo en 20º por comodidad de uso, y así obteníamos siempre el resultado adecuado que es muy útil a la hora de señalar aproximadamente la posición de un astro en el cielo a partir de otro o de un punto del horizonte, sobre todo si no dispones de un puntero láser que en aquellos años no existían.

“Mirad esa estrella tan brillante: 30 grados a su derecha tenéis un astro más débil pero interesante…”, o “Ese punto a 40 grados por encima de esa antena es Saturno”, o “Mide aproximadamente cuántos grados a la izquierda de aquella casa se está poniendo el Sol”

3- Un instrumento más preciso

Desde hace siglos se utilizaba un instrumento llamado ballestilla o ballestina para medir ángulos en el cielo.

En esencia se trata de una regla que, colocada a una determinada distancia del ojo, su graduación corresponde a determinadas unidades angulares.

También en muchos lugares se describe la elaboración de un modelo sencillo y didáctico a partir de dos varillas de madera y una cuerda como la de las siguientes imágenes, y se proporcionan todos los datos. Pero yo prefería que fuera el alumnado quien determinase las medidas correctas.

Uno de los listones lo graduaban en centímetros con ayuda de una regla, y lo iban alejando del ojo hasta que 20 centímetros del listón abarcaban los 20 grados que habían determinado utilizando la mano, y así cada centímetro abarcaría un grado.

Para ello un alumno se colocaba al fondo de la clase extendiendo el brazo y abriendo la mano, y su compañero hacía dos marcas en la pizarra que coincidieran con los extremos de los dedos, siguiendo sus indicaciones. Luego medía con un metro la distancia entre el pómulo del otro y la madera graduada que había colocado a la distancia adecuada (20 cm de la regla en las visuales entre las dos marcas de la pizarra) obteniendo así la longitud que debía tener la varilla que apoyaría en el pómulo. Por supuesto, las distancias medidas por cada pareja no eran exactamente iguales al milímetro, pero luego hacíamos la media de todos los valores obtenidos por las distintas parejas y el resultado solía ser bastante exacto.

La ballestina sin montar y ya preparada, junto a una imagen de 1994 donde un alumno mide la distancia a la que su compañera coloca el listón graduado acorde con su visual a las marcas que han trazado previamente en la pizarra.

Utilizando una cuerda del doble de la longitud de la varilla, la ballestina quedaba curvada como un arco tensado y su flecha (a diferencia del instrumento clásico), con lo que la escala (1 cm corresponde a 1º) se mantiene en todo el tramo.

Se recortaba el otro listón a ese tamaño y la cuerda al doble, con lo que quedaba preparado el instrumento para medir ángulos. Fácil de desmontar y de llevar con la carpeta porque solía haber “deberes para casa” y también desde allí habría que medir distancias angulares entre los astros.

Para que interiorizaran la diferencia entre medida de longitud y distancia angular, también el tamaño angular de un objeto y su relación con la distancia a la que se encuentre, y a la vez practicaran el uso de la ballestina antes de dirigirla al cielo, medían en grados la anchura de la pizarra del aula o la altura de una persona desde diferentes distancias.

Alumnado practicando con la ballestina. IES Sestao, 1993.

Casi todos los años al grupo que elegía la optativa de Astronomía yo le daba también clase de Matemáticas. Con el curso ya avanzado se impartían los temas de Trigonometría y como un ejercicio más calculaban la longitud de la varilla de su ballestina y comprobaban que aproximadamente lo habían hecho bien. La medida del listón debía ser de 57.3 centímetros:

En un ángulo de 1º la curvatura del listón graduado es mínima, la figura prácticamente es un triángulo rectángulo (o isósceles) y los resultados redondeando a milímetros son los mismos.

A veces a algún alumno le sonaba ese número, y siempre es interesante relacionar ideas o conceptos.

-¡Anda, qué casualidad! ¡igual que el número de grados que hemos calculado que tiene que tiene un radián!

- Pues no es casualidad, ¡claro! Piensa el motivo (un radián es el ángulo que abarca un arco de circunferencia de longitud igual a su radio)

4- Midiendo con detalle el horizonte.

Una vez elaborada la ballestilla y antes de utilizarla con los astros, además de las mediciones citadas antes practicaban con ella midiendo los ángulos determinados por la visual a las cimas de varios montes del horizonte y comprobaban el resultado en un mapa, midiendo con un transportador el ángulo cuyos lados pasaban por la visual de dichos montes y el vértice se situaba en el punto de observación.

El ángulo medido con el transportador en el mapa debía ser igual al obtenido con la ballestina en el horizonte real.

Estas comprobaciones, además de servir como práctica del uso de ese instrumento de manera adecuada, les permitía entender mejor el concepto de distancia angular y les motivaba al poder comprobar la corrección de sus mediciones.

Además podía utilizarse como un símil de la situación que se encontrarían al medir los ángulos entre dos astros: Por ejemplo medirían la distancia angular entre Marte y Júpiter vistos desde la Tierra independientemente de la distancia real entre ellos o que uno estuviera mucho más lejos, igual que en el ejemplo de los montes.

Y ya puestos, medían con detalle los diversos puntos significativos del horizonte y elaboraban entre todos el gran panel con una cuadrícula graduada para colocar en clase que mencioné en el post anterior.

Alumnas del instituto de Sestao midiendo distancias angulares entre diversos puntos del horizonte. 

En ese panel, graduado a partir de las medidas tomadas con la ballestilla en el horizonte, se irían marcando las posiciones de los lugares de salida y puesta de Sol en diferentes fechas, así como las alturas de culminación e incluso las trayectorias del astro rey.

Tramo de uno de los paneles del horizonte, donde se recogen los lugares del orto solar en diferentes fechas.

Pero eso ya eran otras actividades que se realizaban a lo largo del curso y que quizás recoja en un futuro en otro artículo.

 

5- La Moneda del “tamaño de la Luna”

Aprovechando la frase del preámbulo de este articulo, se me ha ocurrido el “gancho” de la entrada que he publicado en Facebook y Twitter, porque es algo que he oído muchas veces y a lo que en un primer momento casi todos respondemos de manera errónea:

Entre las monedas de la siguiente imagen ¿Cuál crees que habría que elegir para que, agarrándola con los dedos, pudieras verla del mismo tamaño que la Luna?

Si haces la prueba, el resultado podría sorprenderte.

Lógicamente, veremos la Luna del tamaño de cualquier moneda, si colocamos esta a la distancia adecuada del ojo, pero ¡Hay que mencionar necesariamente a qué distancia, para que la apreciación tenga valor!

Y con la distancia máxima de la longitud de nuestro brazo, no nos sirve ninguna de las monedas.

Lo cierto es que nuestro cerebro nos suele jugar una mala pasada y al ver la Luna en el cielo sin referencias, inconscientemente nos parece que la vemos mucho más grande que la realidad.

Nuestro satélite nos muestra un tamaño angular de solo medio grado (aproximadamente). Recordando que el dedo pulgar con el brazo totalmente extendido ocupa 4 veces más (2 grados), o el meñique aproximadamente el doble que la Luna (un grado), incluso la moneda más pequeña (la diminuta peseta de comienzo de siglo), extendiendo a tope el brazo la veríamos con un diámetro angular el doble que la Luna.

La moneda más pequeña ocuparía aproximadamente un ángulo de 1º con el brazo totalmente extendido.

Por supuesto con el brazo menos extendido se vería aún más grande, y la foto con la Luna no ha sido tomada por la persona que sujeta la moneda de 2 euros en la imagen, sino por otra que estaba bastante por detrás y abajo.